Плотность распределения случайной величины

Пусть функция распределения непрерывной случайной величины имеет производную во всех точках, за исключением, быть может, нескольких.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения,

. (37)

Плотность распределения определена во всех точках, в которых функция распределения обладает производной. В свою очередь функция распределения представляет собой первообразную плотности распределения.

Плотность распределения является неотрицательной функцией в силу неубывания функции распределения.

При известной плотности распределения вероятность попадания случайной величины на интервал с концами может быть записана в виде

. (38)

Зная плотность распределения случайной величины, можно найти ее функцию распределения:

. (39)

Так как , из последней формулы следует одно из основных свойств плотности распределения, именно:

. (40)

Пример 1. Найти плотность распределения непрерывной случайной величины , которая задана своей функцией распределения

С помощью плотности распределения найти вероятность (ср. пример 5 предыдущего раздела). Построить графики функции и плотности распределения.

На основании формулы (37), определяющей плотность распределения, имеем

Теперь по формуле (38) находим искомую вероятность

Для построения графиков функций найдем сначала их производные до второго порядка включительно,

Рис. 1 a Рис. 1 b

По знакам производных видим, что функция распределения возрастает на интервале , так как на , ее график является вогнутым на интервале и выпуклым на интервале (см. рис. 1 а). В свою очередь плотность распределения возрастает на , убывает на и имеет на выпуклый график (рис. 1 б).

Пример 2. Найти значение параметра таким образом, чтобы функцию

можно было считать плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины. Зная плотность распределения, найти функцию распределения этой случайной величины. Изобразить графически функцию и плотность распределения.

На основании формулы (40)

,

.

Теперь по формуле (39) находим функцию распределения случайной величины,

Изучение знаков их производных

и постпроение их графиков произведите самостоятельно.

Пример 3. Покажите, что, решая такую же задачу для функции

,

получим

(рис. 4 а, б).

Пример 4. Та же задача для функции

Сначала по формуле (40) имеем

,

Далее мы используем формулу (39) для трех случаев: ; ; .

В первом случае ()

.

Во втором случае ()

.

Наконец, в последнем третьем случае () по самому смыслу отыскания значения параметра имеем

.

Таким образом, искомая функция распределения дается формулой

Далее

Отсюда получаем интервалы возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости обеих функций . Их графики постройте самостоятельно.