Формула Пуассона. Пусть, как и ранее, производится n независимых испытаний с постоянной веро­ятностью успеха а в каждом испытании

Пусть, как и ранее, производится n независимых испытаний с постоянной веро­ятностью успеха А в каждом испытании, а случайная величина (распределение Бернулли) означает количество успехов в этих испытаниях. Как известно, предел вероятности наступления k успехов при , и дополнительном условии равен

.

Поэтому при большом количестве n испытаний и малой веро­ятности успеха можно найти приближенное значение вероятности по следующей формуле (так называемой формуле Пуассона)

. (25)

Значения правой части в зависимости от значений находятся по

таблице или подсчитываются непосредственно.

Пример 1. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут: а) 3 поврежденных изделия; б) не более двух поврежденных изделий; в) не менее трех поврежденных изделий.

Решение. По условию, количество независимых испытаний (то есть количество отправленных на базу изделий) . Вероятность «успеха» (то есть повреждения изделия в пути) . Количество «успехов» является случайной величиной, имеющей распределение Бернулли, так что для нахождения искомых вероятностей мы имеем право использовать формулу Бернулли (15). Однако по условию количество испытаний велико, вероятность «успеха» мала, , и мы можем воспользоваться формулой Пуассона (25), полагая в ней .

а) Вероятность трех «успехов», то есть вероятность повреждения трех изделий, мы находим, полагая в формуле (25),

.

б) Вероятность повреждения не более двух изделий находим, применяя формулу (16) и три раза формулу Пуассона (при ),

в) Вероятность повреждения не менее трех изделий находим, используя уже найденную вероятность противоположного события,

.

Пример 2. На факультете насчитывается 2000 студентов. Найти вероятность того, что 7 июля является днем рождения 10 студентов (год – не високосный).

Решение. Наличие одного студента можно считать испытанием, так что имеем независимых испытаний. Успехом А можно считать событие, состоящее в том, что наудачу взятый студент родился 7 июля. Количество студентов, родившихся в этот день, является случайной величиной, имеющей распределение Бернулли. В задаче число испытаний велико, вероятность успеха, равная , мала, Поэтому вместо формулы Бернулли мы можем применить приближенную формулу Пуассона, полагая в ней . Получаем

.