Функция распределения случайной величины

Функцией распределения случайной величины называется вероятность того, что она принимает значения, меньшие x, то есть

. (26)

Вероятность того, что случайная величина принимает значения, лежащие на интервале (замкнутом слева и открытом справа), равна разности значений функции распределения в конечной и начальной точках интервала:

. (27)

Как следствие получаем вероятности попадания значений на другие интервалы с теми же концами, а именно ,

, (28)

, (29)

. (30)

Функция распределения является неотрицательной неубывающей функцией, значения которой заключены между нулем и единицей, .

По определению принимается, что

. (31)

Вероятность того, что случайная величина принимает отдельное (изолированное) значение , может быть определена как следующий предел:

. (32)

Эта вероятность равна нулю, если , то есть если функция распределения непрерывна в точке .

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна во всех точках множества вещественных чисел.

Для непрерывной случайной величины все вероятности (27) – (30) равны:

, (33)

или

.

Эти формулы можно записать короче, если использовать специальное обозначение , означающее интервал с концами , которые могут как принадлежать, так и не принадлежать самому интервалу. Для любой точки x такого интервала мы можем записать . Таким образом,

. (34)

В случае дискретной случайной величины функция распределения в любой точке x равна сумме вероятностей тех значений , которые меньше x:

. (35)

Если дискретная случайная величина задана таблицей, в которой возможные значения величины расположены в возрастающем порядке, то последнюю формулу более удобно записать в развернутом виде, а именно:

(36)

График функции распределения (36) представляет собой систему отрезков, параллельных оси , с «выколотыми» левыми концами, а именно:

.

Пример 1. В урне находятся 5 белых и 3 черных шара. Последовательно извлекают по одному шару до первого появления белого шара (без возвращения шара в урну). Найти закон распределения (таблицу, функцию распределения) случайной величины - количества извлеченных шаров.

Решение. Очевидно, случайная величина может принимать только четыре значения, а именно 1, 2, 3, 4. Событие означает, что с первого раза извлечен белый шар, - сначала извлечен черный шар, а вслед за ним белый, сначала извлечено два черных, а затем белый шар, первых три извлеченных шара – черные (и автоматически четвертый - белый). Пусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара. Тогда события, состоящие в том, что принимает значения 1, 2, 3, 4, можно представить в виде:

.

Вероятности этих значений находятся по соответствующим правилам (в сочетании с применением классического определения вероятности).

,

,

.

Сумма найденных вероятностей . Таблица распределения случайной величины имеет вид

Функция распределения случайной величины равна

Ее график изображен на рис. 1.

Пример 2. В условиях предыдущего примера найти вероятности следующих событий: а) извлечено не менее 2, но менее 4 ша-ров; б) извлечено более 2, но менее 4 шаров; в) извлечено не менее 2 и не более 4 шаров; г) извлечено более 2, но не более 4 шаров.

Решение. Зная функцию распределения случайной величины - количества извлечен-ных шаров, мы сводим решение задачи к пос-ледовательному при-менению формул (27) – (30).

Рис. 1 а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Пример 3. Охотник стреляет по убегающему зайцу, имея в запасе 4 заряда. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.7, при втором - 0.5, при третьем - 0.3, при четвертом - 0.1. Найти закон распределения случайной величины - количества сделанных охотником выстрелов.

Очевидно, может принимать четыре значения, а именно: 1 (попадание при первом выстреле), 2 (промах при первом выстреле и попадание при втором), 3 (промахи при первых двух выстрелах и попадание при третьем), 4 (промахи при первых трех выстрелах). Для нахождения вероятностей этих значений введем следующие события: A – попадание при первом выстреле, B – при втором, C – при третьем, D – при четвертом. По условию , .

Таблица распределения изучаемой случайной величины

	0.7	0.15	0.045	0.105

Ее функция распределения

Постройте самостоятельно ее график.

Пример 4. В цехе установлено 6 станков, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что один (безразлично какой) станок не требует в данный момент внимания рабочего (то есть функционирует нормально), равна 0.8. Найти закон распределения случайной величины - количества станков, не требующих в данный момент внимания рабочего (таблицу и функцию распределения). Найти вероятности следующих событий: в данный момент не требуют внимания рабочего а) не менее 2, но менее 5 станков; б) более 2, но менее 5 станков; в) не менее 2 и не более 5 станков; г) более 2, но не более 5 станков.

Решение. Наличие одного (безразлично какого) станка мы можем трактовать как испытание, а успехом считать тот факт, что в данный момент станок не требует внимания рабочего. По условию задачи мы имеем n = 6 независимых испытаний с постоянной вероятностью p = 0.8 успеха. Следовательно, случайная величина - количество станков, не требующих в данный момент внимания рабочего, имеет распределение Бернулли. Возможными значениями являются числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а вероятности этих значений находятся по формуле Бернулли (15) (). Например,

,

,

.

Произведя остальные вычисления (сделайте это самостоятельно!), получим таблицу распределения случайной величины

.

Функция распределения случайной величины равна

Постройте самостоятельно ее график.

Находим, наконец, искомые вероятности:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Пример 5. Функция распределения непрерывной случайной величины задана формулой

1) Найти значения параметров a, b. 2) Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал .

1) В силу непрерывности случайной величины ее функция распределения непрерывна во всех точках, а поэтому имеет равные односторонние пределы в точках ,

.

Но

,

и мы получаем систему уравнений

относительно a, b. Очевидно, , и следовательно

2) На основании формулы (40)

.