Теорема о вычислении поверхностных интегралов первого рода

g₁₁= g₂₂= g₁₂=

Криволинейные интегралы 2-го роды в R²

Вычисление

Формула Грина

Независимость интеграла от пути.

Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(х,y) и M₀M - гладкая дуга, лежащая в области D.

Рассмотрим вопрос о независимости интеграла

от формы пути интегрирования. Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть функции P, Q, P'_y, Q'_x определены и непрерывны в односвязной, ограниченной замкнутой области D плоскости Оху. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой:
1)

, где L - замкнутый контур в области D; 2) интеграл

не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M₀ и М;
3) Pdx + Qdy = dU - полный дифференциал некоторой функции U(x,y); 4)

в каждой точке области D.

Идея доказательства этой теоремы: показывается, что из условия 1 условие 2 условие 3 условие 4 условие 1.

Интегрирование полных дифференциалов

Предположим, что выражение есть полный дифференциал функции . В соответствии с доказательствами условий независимости криволинейного интеграла от выбора пути можно заключить, что большое количество функций, которые удовлетворяют условию представляют собой

Для того, чтобы определить функцию , за путь интегрирования можно принять, допустим, , здесь и представлены в качестве отрезков, которые являются параллельными осям координат (рис. 26.7). В этом случае

Учитывая то, что

имеем

(26.6)

Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

Теорема о вычислении криволинейного интеграла второго рода в R³