Определитель Грама Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти расстояние от до .

Минимум расстояний по всем векторам из достигается на ортогональной проекции вектора на . При этом , где вектор перпендикулярен всем векторам из , и расстояние от до равно модулю вектора . Для вектора решается задача о разложении (см. выше) по векторам , и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

где — определитель Грама системы. Вектор равен:

и квадрат его модуля равен

Из этой формулы индукцией по получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы векторов равен квадрату -мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.