IV. Корреляционный анализ

В корреляционном анализе рассматривается двумерная случайная величина , и решаются две задачи.

Первая задача. Оценка силы статистической связи между компонентами и этой случайной величины.

Вторая задача. Определение функций регрессии одной из компонент на изменение значений другой компоненты.

Сначала по элементам двумерной выборки составляется корреляционная таблица.

	1-10	11-20	21-30	31-40	41-50	51-60	61-70	71-80	81-90	91-100	101-110	111-120	121-130	131-140
1-3
4-6
7-9
10-12
13-15
16-18
19-21
22-24

Здесь количество элементов двумерной выборки, попавших в декартово произведение , где и . В последнем столбце и в последней строке таблицы записаны частоты попаданий первых координат выборки в и частоты попаданий вторых координат выборки в , соответственно.

Анализ расположения ненулевых частот в «поле» корреляционной таблицы и величин их значений в прямоугольниках позволяет сделать представление о характере распределения вероятностей двумерной случайной величины .

Первая задача. Сила статистической связи (если она имеет линейный характер) между компонентами и оценивается с помощью коэффициента линейной корреляции , который является числовой характеристикой двумерной случайной величины. Точечная оценка r коэффициента линейной корреляции вычисляется по элементам выборки: , где ; и - точечные оценки математических ожиданий и компонент, и - точечные оценки их средних квадратических отклонений и . Значения этих точечных оценок были вычислены ранее.

Подставляя их значения в формулу статистического коэффициента линейной корреляции r, получаем:

.

Полученное большое значение r =0,9264 «близко» к числу +1, что позволяет сделать вывод о наличии «сильной», положительной статистической связи между случайными величинами и .

Вторая задача. Функция регрессии – функция, описывающая изменение средних значений одной из компонент в зависимости от возможных значений другой компоненты: - функция регрессии случайной величины на случайную величину и - функция регрессии случайной величины на случайную величину .

Анализ расположения ненулевых частот в «поле» корреляционной таблицы показывает, обе функции регрессии – линейные, то есть: и .

Теоретическое уравнение линейной регрессии случайной величины на случайную величину имеет вид: . Заменяя в этом уравнении теоретические числовые характеристики на их точечные оценки, получаем статистическое уравнение функции регрессии, коэффициенты которого определяются по элементам выборки . То есть получаем: .

Аналогично из теоретического уравнения регрессии случайной величины на случайную величину : получаем: .

Вычислим значения коэффициентов уравнений регрессии и запишем: , то есть:

.

Аналогично: или:

.

Сделаем геометрическую иллюстрацию двумерной выборки и корреляционной зависимости компонент.

Прямые линии это графики функций регрессии. Точка пересечения графиков функций имеет координаты .

120

40

0

0 3 6 9 12 15 18 21 24