Проверка гипотезы о равенстве значения числовой характеристики исследуемой случайной величины некоторому фиксированному числу

Формулируются основная гипотеза и, в зависимости от цели исследования, двусторонняя или односторонняя альтернативная гипотеза . Подбирается критерий проверки справедливости основной гипотезы и при назначенном уровне значимости этой гипотезы строятся критическая и допустимая области возможных значений критерия . По элементам выборки вычисляется наблюдаемое значение критерия . Определяется, в какую область попадает это наблюдаемое значение критерия . Если мы наблюдаем наступление события , то по правилу принятия решений основная гипотеза отклоняется. Если наблюдается наступление события , то по правилу принятия решений нет оснований отклонить гипотезу , следовательно, основная гипотеза принимается.

а) Исследуется случайная величина – количество слов в предложении. Исследователя интересует среднее значение случайной величины , то есть значение . Выдвигаем основную гипотезу : «математическое ожидание случайной величины равно ». Выбираем двустороннюю альтернативную гипотезу : «математическое ожидание случайной величины не равно ». Кратко записывается так: пусть : , при альтернативной : .

В роли критерия проверки справедливости основной гипотезы рассматривается статистика , законом распределения вероятностей которой является распределение Стьюдента. Так как альтернативная гипотеза двусторонняя, то таблицам распределения Стьюдента при выбранном уровне значимости для , исходя из условия , определяем Записываем области возможных значений критерия:

и .

Используя результаты первичной обработки статистических данных, вычисляем наблюдаемое значение критерия: . Так как мы наблюдаем наступление случайного события , то, по правилу принятия решений, у нас нет оснований отклонять гипотезу . То есть, мы можем

–1,98 0 +1,98

считать, что математическое ожидание случайной величины – количество слов в предложении, равно восьми. При этом мы можем утверждать, что вероятность того, что наш вывод ошибочен, то есть вероятность ошибки первого рода, равна 0,05.

б) Проверим справедливость гипотезы : , при альтернативной : , где случайная величина – количество букв в предложении. Критерием проверки справедливости основной гипотезы будет та же статистика , законом распределения вероятностей которой является распределение Стьюдента.

При выбранном уровне значимости , для , исходя из условия , по таблицам распределения Стьюдента определяем . Области возможных значений критерия будут иметь вид:

, .

Используя результаты первичной обработки статистических данных, вычисляем наблюдаемое значение критерия: . Так как мы наблюдаем наступление случайного события , то по правилу принятия решений у нас нет оснований отклонять гипотезу . То есть, мы можем считать, что среднее количество букв в предложении в рассматриваем произведении Агаты Кристи равно 39.

Замечание. При попадании наблюдаемого значения критерия в область допустимых значений , согласно правилу принятия решений, мы принимаем гипотезу , то есть считаем, что . Если в реальности справедлива гипотеза , то наш вывод будет верным. Вероятность того, что наш вывод верный, равна , где – плотность вероятности критерия при справедливой в реальности гипотезе .

Но если в реальности справедлива альтернативная гипотеза , то наш вывод о справедливости гипотезы будет ошибочным. В этом случае наш вывод называется ошибкой второго рода и вероятность этой ошибки равна . Здесь – плотность вероятности критерия при справедливой в реальности альтернативной гипотезе .

Вычислим вероятности ошибки второго рода, полагая последовательно:

а) ; б) и в) . Если, согласно теореме Леви, считать, что распределение вероятностей критерия мало отличается от нормального с N , то вероятности события будут равны: ; и . Большие значения, особенно первые два, вероятности ошибки второго рода становятся понятными и объяснимыми если, вспомнить, что доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины при доверительной вероятности имеет вид (35,529;43,697).

а) Проверим справедливость гипотезы : с уровнем значимости при альтернативной гипотезе : . Критерием проверки справедливости гипотезы принимается случайная величина . По таблицам распределения Пирсона, исходя из условия , определяем величину =124,2. Записываем области критических и допустимых значений критерия:

и .

Вычисляем наблюдаемое значение критерия: . Так как наблюдаемое значение критерия попадает при справедливости гипотезы в область допустимых значений: , то у нас нет оснований отклонять гипотезу , то есть с уровнем значимости мы можем считать, что дисперсия случайной величины равна .

б) Используя этот же критерий , проверим справедливость гипотезы о том, что дисперсия случайного количества букв в предложении равна 600, то есть: : , при альтернативной гипотезе : . Если принять ,то по таблицам распределения Пирсона определяем =129,5. Значит, области возможных значений критерия имеют вид: и .

Вычисляем наблюдаемое значение критерия: . Так как наблюдаемое значение критерия попадает при справедливости гипотезы в область допустимых значений: , то у нас нет оснований отклонять гипотезу , то есть с уровнем значимости мы можем считать, что дисперсия случайной величины равна 600.

Замечание. Очевидно, что для принятия решения о справедливости или об отклонении основной гипотезы можно не выписывать области критических и допустимых значений критерия. Для принятия решения достаточно, определив по соответствующим таблицам критическое значение критерия проверки гипотезы, сравнить это число с наблюдаемым значением критерия.