Метод моментов

Призаданном виде закона распределения с.в. X неизвестные параметры этого распределения можно оценить, то есть выразить как функцию вариант выборки на основе метода моментов. Этот метод состоит в том, что теоретические моменты распределения приравниваются к соответствующим эмпирическим моментам, найденным по выборке. Затем из полученных уравнений находятся оценки неизвестных параметров распределения.

1) Оценка одного параметра. Пусть распределение зависит от одного параметра , например, задан вид плотности распределения , где - неизвестный параметр. Требуется найти его точечную оценку.

Для оценки одного параметра по методу моментов приравняем начальный теоретический момент первого порядка к начальному эмпирическому моменту первого порядка: . Учитывая, что , , получим одно уравнение относительно :

.

(7)

Математическое ожидание является функцией от , так как .

Поэтому решив уравнение (7) относительно параметра , мы тем самым найдем его точечную оценку , которая является функцией от выборочной средней, а значит, и от вариант выборки, то есть .

Пример 10. На предприятии изготавливается определенный вид продукции. Ежемесячный объем выпуска этой продукции является случайной величиной, для характеристики которой принят показательный закон распределения . В течение полугода проводился замер объемов выпуска продукции, получены следующие данные:

Месяц
Объем

Найти оценку параметра методом моментов.

Решение. Так как закон распределения содержит лишь один параметр , то для его оценки требуется составить одно уравнение (7).

Находим выборочное среднее: . Определяем математическое ожидание ([2]): . Интегрируя по частям (проделайте выкладки самостоятельно), получим: , значит, . Так как правая часть этого равенства является случайной величиной, поэтому получаем не точное значение параметра , а его оценку : , откуда .

2) Оценка двух параметров. Пусть задан вид плотности распределения , которая определяется неизвестными параметрами и . Для нахождения их оценок необходимы два уравнения относительно параметров и . По методу моментов запишем следующие равенства:

, ,

где - начальный момент первого порядка закона распределения с.в. X, - эмпирический начальный момент первого порядка, - центральный момент второго порядка закона распределения с.в. X, - эмпирический центральный момент второго порядка.

Учитывая, что , , , , получим уравнения для нахождения оценок неизвестных параметров и :

(7′)

Пример 11. Найти методом моментов по выборке оценки неизвестных параметров и нормального распределения с.в. X.

Решение. Учитывая, что для нормального закона распределения , а , уравнения (7′) запишем в виде: , , откуда получим точечные оценки неизвестных параметров и : , .