Точечные оценки параметров распределения

Точечной оценкой неизвестного параметра называют число (точку на числовой оси), которое приблизительно равно оцениваемому параметру и может заменить его с достаточной степенью точности в статистических расчетах. Большинство с.в. имеют распределения, зависящие от одного или нескольких параметров. Так, например, нормальное распределение зависит от параметров и , распределение Пуассона – от параметра , биномиальное – от параметра p.

Определение 13. Пусть закон распределения с.в. содержит неизвестный параметр θ. Оценкой параметра θ называется некоторая функция от с.в. .

Для того чтобы точечные статистические оценки обеспечивали “хорошие” приближения неизвестных параметров, они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными.

Определение 14. Оценка называется несмещенной, если .

Определение 15. Оценка называется состоятельной, если для всякого выполняется .

В теории вероятности в этом случае говорят, что по вероятности.

Определение 16. Несмещённая оценка называется эффективной, если для любой другой оценки параметра θ выполняется соотношение .

Несмещенность оценки означает, что прибор, которым мы производили измерения, либо способ измерения не содержат системной ошибки. В среднем мы получаем измеряемый параметр θ. Состоятельность ошибки говорит о том, что при увеличении числа измерений наша оценка приближается к измеряемому параметру θ. А эффективность означает, что данная оценка имеет наименьший разброс значений, т.е. при фиксированном n имеет наименьшую дисперсию.

Рассмотрим случайную выборку объема n признака X. Задачу статистического оценивания, а также основные виды статистических оценок рассмотрим для частного случая, когда признак X генеральной совокупности распределен нормально.

Обозначение X ~ N (a, s  ²), употребляемое далее, означает, что с.в. X имеет нормальное распределение с параметрами и .

Теорема 1. Пусть с.в. X ~ N (a, s  ²). Оценка , где – выборочное среднее, является несмещенной и состоятельной оценкой параметра q= a.

Доказательство. Так как с.в. X_k имеет ту же функцию распределения, что и с.в. , то MX_k = MX = a и DX_k = DX=s ². В силу линейности математического ожидания . Несмещенность оценки доказана.

Докажем теперь состоятельность данной оценки. Так как с.в. ,.., независимы, то по свойству дисперсии имеем:

.

Используя второе неравенство Чебышева [2], получим:

.

Заметим, что .

Тогда .

Последнее равенство и доказывает состоятельность оценки. □

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1) Оценка параметра q=s², где , является несмещенной оценкой.

2) Если то данная оценка состоятельна.

Доказательство. 1) Сформулируем и докажем вспомогательную лемму.

Лемма 1. Пусть , где C = const, . Тогда .

Доказательство. В выражении подставим вместо . Имеем: . □

Продолжим доказательство первой части теоремы. Положим . Тогда , . Преобразуем Тогда Вычислим :

Окончательно

Итак, несмещённость данной оценки доказана.

2) Для доказательства состоятельности сформулируем следующую лемму.

Лемма 2. Если , то существует такое число , что .

Доказательство опускается.

Применим второе неравенство Чебышева [2]:

при .

Действуя далее аналогично, как и при доказательстве теоремы 1, получаем состоятельность данной оценки дисперсии. □

Пример 6. Найти несмещенную оценку дисперсии с.в. на основании данного распределения выборки:

Решение. Находим выборочное среднее .

Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой: .

, . Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию): . □

Пример 7. Монету подбрасывают раз. Вероятность выпадения герба при каждом подбрасывании равна . В ходе опыта монета выпала гербом раз. Показать несмещенность оценки вероятности выпадения герба в каждом опыте.

Решение. Число успехов имеет биномиальное распределение. Тогда , . Следовательно, , что доказывает несмещенность оценки . □

Упражнение 5. Исследовать на несмещённость и состоятельность следующую оценки дисперсии: где – теоретическое значение математического ожидания.

Лекция 4