Выборочные характеристики статистических распределений

Вариационный ряд содержит достаточно полную информацию об изменчивости признака. Однако обилие числовых данных, с помощью которых он задается, усложняет их использование. В то же время на практике часто оказывается достаточным знание лишь сводных числовых характеристик выборочной совокупности. Рассмотрим реализацию выборки (1) и построенный по ней вариационный ряд (3). В табл.1 приводятся наиболее часто используемые числовые характеристики вариационных рядов.

Таблица 1

Название характеристики	Формула
Без учёта частоты вариант	С учётов частоты вариант
Размах выборки	R=xmax-xmin, где xmax - максимальное значение выборки, xmin - минимальное значение выборки;
Выборочный начальный момент порядка s
Выборочное среднее – выборочный начальный момент 1-го порядка
Выборочный центральный момент порядка s
Выборочная дисперсия - выборочный центральный момент 2-го порядка	1. 2.	1. 2.
Исправленная выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратическое отклонение
Выборочный коэффициент асимметрии

Окончание табл. 1

Выборочный коэффициент эксцесса
Мода М0	варианта, имеющая наибольшую частоту, т.е. х мo =xi, если ni =n max (справедливо только для дискретного ряда);
Медиана те	варианта, которая делит вариационный ряд (2) на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно (n = 2 m + 1), то me = , а при четном n = 2 m медиана .
Коэффициент вариации

Заметим, что если рассматривать все числовые характеристики, перечисленные в табл.1, до проведения наблюдений, то они являются с.в. от с.в. . Для простоты дальнейшего изложения в этом случае все обозначения числовых характеристик, приведенных в таблице, сохраняются с заменой вариант x_i на с.в. X_i.

Интуиция нам подсказывает, что числа и должны быть приближениями математического ожидания MX и дисперсии DX с.в. . Оказывается, что первая формула ─ это хорошее приближение математического ожидания с.в. , а вторая формула ─ не очень хорошее приближение дисперсии с.в. X. Исправленная выборочная дисперсия будет давать хорошее приближение дисперсии DX с.в. .

Если статистический материал представлен в виде интервального вариационного ряда, то при расчете выборочной средней и выборочной дисперсии сначала необходимо вычислить середины каждого интервала , которые рассчитываются по формуле: . Далее расчеты ведутся, как и для дискретного вариационного ряда, но в качестве вариант используем .

Отметим, что выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. При этом если , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева (справа). Если выборочный коэффициент эксцесса , то соответствующий полигон имеет более пологую (крутую) вершину по сравнению с нормальной кривой.

Коэффициент вариации является относительным показателем и используется для сравнения варьируемости двух или нескольких выборок, имеющих разные единицы измерения. Принято считать, что если 0 %≤ v ≤10 %, то варьируемость малая, 11 %≤ v ≤20 % - средняя и v >20 % - большая.

Пример 5. Имеется распределение числа работников на 80 предприятиях:

							5.

Найти числовые характеристики распределения предприятий по числу работающих.

Решение. Признак Х – число работающих (чел.) на предприятии. В данной задаче признак Х является дискретным. Для расчета характеристик данного распределения удобнее использовать таблицу:

Число работающих на предприятии, (х ( i) ,чел.)	Число предприятий (ni)	х (i) ni	(х (i) – )2 ni	x (i)2 ni
Итого

Здесь k =7 и объём выборки . Для определения числовых характеристик распределения используем формулы из табл.1. Имеем 510 (чел.) – среднее число работающих на предприятии.

Объем выборки n = 80 – число четное. Пусть n = 2 m, тогда m = 40. Поэтому:

450 (чел.).

Частота достигает максимума: n_i = n _max = 30 при x _{( i )} = 450, поэтому: х _мо = 450 (чел.). Размах выборки R = х _max – х _min = 750 – 150 = 600 (чел.).

Выборочную дисперсию рассчитаем двумя способами.

1)

2)

= 275500 – (510)² = 15400.

(численность работающих на каждом предприятии отклоняется от средней численности в среднем на 124 чел.)

И наконец, коэффициент вариации » 24,3 %, что означает большую варьируемость. □

Лекция 3