Обработка результатов измерения

Методические указания по дисциплине

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Часть 1

Ростов - на - Дону

УДК 60.6: 519.2 (07)

Методические указания по дисциплине «Математическая статистика». Часть 1. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. - 30 с.

Предназначены для студентов очной формы обучения, изучающих в рамках курса высшей математики раздел «Математическая статистика». Рассмотрены основные способы обработки данных выборки. Описано построение точечных оценок параметров генеральной совокупности, нахождение параметров функциональной зависимости между различными случайными величинами. Материал разбит на 5 лекций. В каждой лекции приводится решение типовых задач и упражнения для самостоятельного решения.

Составители:	д-р физ.-мат. наук, проф. И.В.Павлов
	канд. техн. наук, доц. Е.В.Маринченко
	канд. физ.-мат. наук, доц. В.В.Шамраева
Рецензенты:	канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А.Власков
	канд. физ.-мат. наук, доц. М.М.Цвиль

Редактор Т.М.Климчук

Темплан 2011 г., поз. 39

Подписано в печать 07.04.11.

Формат 60х84/16. Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд. л. 1,4.

Тираж 100 экз. Заказ

__________________________________________________________________________________________
Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

строительный университет, 2011

Лекция 1

Обработка результатов измерения

Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала» [1].

Предположим, что задано некоторое вероятностное пространство (W, F,  P). В дальнейшем его структура не будет нас интересовать. Рассмотрим случайный эксперимент, который мы умеем воспроизводить в одних и тех же условиях достаточно большое число раз. Пусть X:W® R — случайная величина (с.в.), наблюдаемая в случайном эксперименте [2]. Например, контролируем размеры производимой на заводе детали или делаем опрос общественного мнения. Исследуемая числовая характеристика объектов исследования мыслится как с.в. X. Проведя n раз эксперимент в одинаковых условиях, получим числа — значения наблюдаемой с.в. в первом, втором и т. д. экспериментах, называемые выборкой. Выборки производятся для того, чтобы понять свойства объекта исследования. Рассмотрим подробнее это понятие.

В серии уже произведённых экспериментов выборка — это набор чисел. До того как эксперимент проведён, имеет смысл считать выборку набором случайных величин (независимых и распределённых так же, как X). Действительно, до проведения опытов мы не можем сказать, какие значения примут элементы выборки: это будут какие-то из значений с.в. X. Поэтому имеет смысл считать, что до опыта X_k — с.в., одинаково распределённая с X, а после опыта — число x_k, которое мы наблюдаем в k -м по счёту эксперименте, т.е. одно из возможных значений с.в. X_k. Дадим более строгие определения, принятые в математической статистике.

Определение 1. Генеральной совокупностью называется совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом.

В дальнейшем под генеральной совокупностью будем подразумевать не само множество объектов, а множество значений с.в., принимающей числовое значение на каждом из объектов. В статистике обычно исследуемые случайные величины называют признаками и обозначают большими латинскими буквами , и т.д.

Определение 2. Выборкой объема n, измеряющего с.в. , называется набор случайных величин , удовлетворяющих следующим условиям:

1) с.в. независимы в совокупности;

2) , , .

Последнее равенство означает совпадение функций распределения с.в. X_k и X.

Иначе говоря, выборка - это часть элементов генеральной совокупности, отобранная для изучения. Например, из 1000 деталей отобрано 100 для изучения, тогда объём генеральной совокупности N = 1000, объём выборки n =100.

Определение 3. Реализацией выборки называют конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений (испытаний).

При составлении выборки после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен в генеральную совокупность или не возвращен. В связи с этим различают повторные и бесповторные выборки.

Определение 4. Повторной называется выборка, при которой отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед извлечением следующего объекта. Бесповторной называется выборка, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Определение 5. Репрезентативная выборка - это выборка из генеральной совокупности, представляющая основные её особенности. Для репрезентативности выборки важно обеспечить случайность отбора так, чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные шансы попасть в выборку.

Пример 1. Двадцать студентов проходят тестирование по математике. Каждый из них может набрать от 0 до 5 баллов. Пусть – количество баллов, полученное -ым студентом, k =1,2,…,20. Тогда значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 – все возможные значения количества баллов, набранные одним студентом – образуют генеральную совокупность. Результат тестирования двадцати студентов является выборкой . Реализациями выборки могут быть следующие наборы чисел: {0, 1, 5, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 3, 5, 5, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 4} или {3, 1, 1, 0, 4, 5, 3, 5, 4, 5, 3, 2, 5, 1, 1, 4, 2, 3, 5, 0}.