В.1. Задачи, приводящие к производной

Задача о касательной:

Пусть на плоскости ОХY дана непрерывная кривая у=f(х) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в т. М (х , у ).

Дадим аргументу х приращение и перейдем по кривой у = f (х) от т. М (х , у ) к т. М (х + , f (х + ). Проведем секущую М .

Под касательной к кривой у=f(х) в т. М понимают предел положительной секущей М при приближении т. М к М , т. е. при .

Уравнение прямой, проходящей через точку М , имеет вид: у – f(х )=k(х– х₀). k -угловой коэффициент может быть найден из : k = tg = . Отсюда – угловой коэффициент касательной.

Задача о скорости движения:

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону , где s – пройденный путь, t – время. Надо найти скорость точки в момент t₀.

К моменту пройденный путь составит , а к моменту : . Тогда за время средняя скорость . Чем меньше , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t₀. Поэтому под скоростью в момент t₀ естественно понимать предел средней скорости за промежуток от t₀ до , когда : .