В.8. Вычисление пределов

При вычислении пределов используют то, что предел постоянной равен самой постоянной, а также основные теоремы о пределах. Рассмотрим вычисление пределов на примерах.

Пример 7. Найти .

Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке х =1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем: .

Ответ. .

Пример 8. Найти .

Решение. Функция при х =1 не определена («неопределенность типа »), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при всех других значениях х

.

Полученная функция определена и непрерывна в точке х =1, поэтому

= = . Ответ: .

Пример 9. Найти

Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа »). Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:

= = = = 0.

Ответ: 0.

Пример 10. Найти .

Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель. Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [¥–¥]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию до разности квадратов:

= = = .

Следовательно, =

Ответ: 0.

Пример 11. Найти .

Решение. Выделим у дроби целую часть:

.

Чтобы использовать второй замечательный предел (или ), обозначим . Тогда при х →∞ у →0, причем . Т.о. = .

Ответ: .