Көп айнымалының бағыт бойынша туындысы және градиенті

үш айнымалы функциясы берілсін. Осы функцияның нүктесінен бірлік векторының бағытымен қозғалысының жылдамдығын қарастырайық. векторын бағыттаушы косинустар арқылы анықтайық: . Бізге векторының бағыттаушысы-мен берілген нүктесінен өтетін түзуі параметрлік теңдеуімен берілсін.

(1)

бірлік вектор болғандықтан параметрінің шамасына өлшемі түзуінің бойымен ұзындығы кесіндісіне орын ауыстырғанын білдіреді, ал болса нүктесіне сәйкес келеді.

Анықтама. векторы бағыты бойынша нүктесіндегі функциясының туындысы деп болғандағы түзуіндегі бойынша осы функцияның шектеу туындысын айтады. (3-сурет)

3- сурет

Бұл туынды мына түрінде белгіленеді. Егер бұл векторы , , базистік векторларының біреуімен сәйкес келсе, онда бұл анықтамаға сәйкес дербес туындыны береді, немесе . Егер бірлік вектор болмаса, онда дербес туындысы -мен анықталады, мұндағы бірлік вектор векторына коллинеар.

функциясының векторы бағыты бойынша туындысының формуласын алайық. Ол үшін (1) деп -ті -ға қойсақ:

, соңдықтан

(2)

Анықтама. функциясының дербес туындылар – координа-талары болатын вектор 2 функцияның градиенті деп аталады және былай белгіленеді: -ді градиент арқылы өрнектейтін (2)-ден басқа формуланы аламыз:

(3)

Кез келген векторы үшін болғандықтан,

(4)

Егер -ді нүктесінде есептеу керек болса, онда - да (3), (4) формулаларымен осы нүктеде есептеу керек болады.

Мысал. функциясымен берілген дененің нүктесіндегі вектор бағытындағы температура өзгеру жылдамдығын есептеу керек. Ол үшін дербес туындылар мен өрісінің градиентін табамыз:

; ; ;

;

.

; (4) формула бойынша есептейміз

.

Градиенттің қасиеттері. 1) өрісінің градиенті мен векторы арасында бұрышы деп белгілейік, онда (3) тегі скаляр көбейтіндіні мына түрінде жазуға болады, бұл -дың векторына проекциясы болады. Демек, векторының -ге проекциясымен дәл келеді:

(4 сурет) (5)

4 сурет

2) (5) формула бойынша бағыты бойынша максимал болады, мен дәл келеді, өйткені бұл бағытта , . Сондықтан

,

градиент функцияның ең үлкен өсу бағытын береді, оның модулі осы бағыттағы туындыға тең.

Скаляр өріс үшін – жергілікті жердің теңіз деңгейінен биіктігі – градиент жергілікті жердің ең үлкен тік көтерілімінің бағытын көрсетеді, ал оның модулі, немесе осы бағыттағы туындысы осы жердің көтерілімінің ең үлкен тангенсіне тең. Егер кейбір жердің рельефі функциясымен берілсе, онда нүктесін бастапқы нүкте ретінде алып кез келген бағыттағы осы жердің тіктік көтерілімін есептеп шығаруға болады. Бұл үшін -ді тауып және оның бағыттағы проекциясын есептесек болды.

3) функциясының экстремаль нүктелеріндегі дербес туындылары (егер олар болса) нольге тең, бұл экстремумның қажеттілік шартымен туындайды. Градиенттің барлық координаталары 0-ге тең нүктелер өрістің сингуляр (айрықша) нүктелері деп аталады. Градиент 0-ге тең емес нүктелер регуляр нүктелер деп аталады. Географиялық картада төбелер, ойыс жерлер, өткелдер сингуляр да, ал басқа нүктелер регуляр нүктелер болады.

4) векторын алайық. Бұл жағдайда . Градиентке перпендикуляр бағыттағы шексіз аз жылжу мәні тұрақты болып қалады, демек осы бағытта өрісінің деңгейлік беті өтеді. Келесі теорема орынды.

Теорема. функциясының кез келген регуляр нүктесі арқылы оның деңгейлік бетіне нүктесі арқылы өтетін жазықтық жүргізуге болады, бұл жазықтық -ге перпендикуляр. Градиенттің осы жазықтыққа нормаль вектор болатынын пайдаланып оның теңдеуін аламыз:

. (6)

Екі айнымалы функция үшін осы өрістің деңгей сызығының жанамасына перпендикуляр болады және бұл жанаманың (6) сияқты теңдеуін былай

(7)

жазуға болады.

5) Градиенттің төменгі алгебралық қасиеттерін айта кетейік. Егер – тұрақты болса, онда , .

Екі және функциясы үшін

, .

Дифференциалданатын функция үшін: .

Бұл қасиеттерді өріс пен градиенттің анықтамаларымен оңай дәлелдеуге болады.

Өріс градиентіне, бағыт бойынша туындыға байланысты кейбір мысалдарды алып қарайық.

Мысал. электр зарядынан пайда болған өрісті қарайық.

( - электростатикалық тұрақты).

(8)

Егер нүктесінің радиус-векторын деп белгілесек, онда және градиентті былай жазуға болады: . Біз әрбір нүктедегі градиенттің осы нүктенің радиус-векторына коллинеар екенін көреміз және координаталар басынан бағытталған, оның модулі координаталар басынан қашықтықтың квадратына кері пропорционал.

Мұнда біз әр нүктедегі градиенттің, осы нүктеден өтетін деңгейлік бетіне - сфераға перпендикуляр екенін көз жеткіземіз. нүктедегі өрістің деңгейлік бетіне жүргізілген жанама жазықтықтың теңдеуін табайық. Деңгейлік бетінің теңдеуін табу қажет емес. (8) теңдіктен

екені шығады және (6) теңдіктен

Жазықтық радиус - векторға перпендикуляр екені шығады.

Анықтама. бетінің жанамасына перпендикуляр түзу жанасу нүктесіндегі осы беттің нормалі деп атайды.

Кез келген беттің регуляр нүктесінде нормаль болады және функцияның осы нүктедегі градиентінің бағытында өтеді. Оның параметрлік теңдеулерінің түрі:

.

Мысал.Эллипстік параболоид -тің нүктесіндегі жанама жазықтығының және нормаль теңдеуін жазу керек.

Бұл теңдеуді түрінде жазайық, бұл функциясының 0 деңгейлік бетін анықтайды. Осыдан , , . Демек, , , . Бұл мәндерді жанама жазықтықтың теңдеуіне қойсақ: , т.е. шығады.

Нормаль түзудің параметрлік теңдеуі мына түрде болады:

.