Дәріс. Векторлық алгебра элементтері

Вектор деп бағытталған кесіндіні айтады, яғни кесіндінің белгілі бір ұзындығы және бағыты болады. Егер А – вектордың басы, ал В –вектордың ұшы болса, онда вектор немесе символымен белгіленеді. векторы векторына қарама-қарсы вектор деп аталады (оның басы В нүктесінде, ал ұшы А нүктесінде орналасқан). векторына қарама-қарсы векторды деп белгілейді. векторының ұзындығы немесе модулі деп кесіндісінің ұзындығын айтады және оны немесе деп белгілейді. Ұзындығы нөлге тең векторды нөлдік вектор деп атайды және ол деп белгіленеді. Нөлдік вектордың бағыты анықталмаған.

Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор деп атайды және оны деп белгілейді. Егер бірлік вектордың бағыты векторының бағытымен сәйкес келсе, онда ол векторының орты деп аталады және деп белгіленеді.

Параллель түзулерде немесе бір түзудің бойында жататын векторлар коллинеар векторлар деп аталады және || деп белгіленеді. Коллинеар векторлар бағыттас болуы да, қарама-қарсы бағытта да болуы мүмкін.

Егер екі және векторлары коллинеар болып, бағыттас және ұзындықтары бірдей болса, онда оларды тең векторлар () дейді. Тең векторлар еркін векторлар деп те аталады. Бұл векторлардың басты нүктесін кеңістіктегі кез келген нүктеге көшіруге болады.

Егер кеңістіктегі үш вектор бір жазықтықта немесе параллель жазықтықтарда жатса, онда олар компланар векторлар деп аталады.

Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

Сызықтық амалдар деп, векторларды қосу және алу, векторды санға көбейту амалдарын айтады.

Екі вектордың қосындысын екі жолмен табуға болады: бірі параллелограмм әдісі, екіншісі үшбұрыштар әдісі.

Параллелограмм әдісі. және векторларының қосындысы деп, және векторларының ортақ бас нүктесінен шығатын, параллелограммның диагоналіне тең болатын векторды айтады.

Үшбұрыштар әдісі. Егер векторының басы векторының ұшына орналасса, онда және векторларының қосындысы деп, векторының басы мен векторының ұшын қосатын векторды айтады.

Бір нүктеден шығатын және векторларының айырымы деп векторының ұшын векторының ұшымен қосатын векторды айтады. -ға тең, векторына коллинеар, егер болса векторымен бағыттас және болса, векторына қарама-қарсы бағытталған векторын айтады.

және векторларының коллинеарлығының қажетті және жеткілікті шарты:

Векторлардың сызықты тәуелділігі. Базис векторлар жүйесі берілсін. векторлар жүйесі үшін бәрі бірдей нөлге тең емес және

(3.1)

теңдігін қанағаттандыратын сандары табылса, онда векторларын сызықты тәуелді векторлар деп атайды. Ал егер теңдік тек сандарының барлығы бірдей нөлге тең болғанда ғана орындалса, онда векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады.

Егер теңдігі орындалатын сандары табылса, онда векторы векторларының сызықты комбинациясы деп аталады.

Теорема. Екі вектор сызықтық тәуелді болуы үшін олардың өзара коллинеар болуы қажетті және жеткілікті.

Бұл теоремадан кез келген коллинеар емес екі вектор сызықты тәуелсіз болады деген қорытынды шығады.

Теорема. Үш вектор сызықты тәуелді болуы үшін олардың компланар болуы қажетті және жеткілікті.

Бұл теоремадан кез келген компланар емес үш вектор сызықты тәуелсіз векторлар жүйесін құрайды деген қорытынды шығады.

Егер жазықтықта кез келген векторы үшін нақты сандары табылып, мына теңдік орындалса, онда белгілі ретпен алынған сызықты тәуелсіз векторлар жұбы жазықтықтағы базис деп аталады.

Мұндағы сандары векторының базисіндегі координаттары деп аталады да былай белгіленеді: .

Егер кеңістікте кез келген векторы үшін нақты сандары табылып, мына теңдік орындалса, онда белгілі ретпен алынған сызықты тәуелсіз векторлар үштігін кеңістіктегі базис деп атайды.

Мұндағы сандары векторының базисіндегі координаттары деп аталады да былай белгіленеді: .

Базисті құраушы векторлар базистік векторлар деп аталады.

Осы анықтамалар мен теоремалардан кез келген коллинеар емес екі вектор жазықтықта, ал кез келген компланар емес үш вектор кеңістікте базистік векторлар жүйесі болады деген қорытынды шығады.

Векторды координат өстердің орттары арқылы жіктеу. Вектордың модулі. Кеңістіктегі тік бұрышты декарттық координаталар жүйесін қарастырайық. Ох, Оу, Oz координат өстерінің бойында жатқан бірлік (орт) векторларды сәйкесінше деп белгілейік. Сонда реттелген үштік кеңістікте базистік векторлар жүйесін құрайды. Мұндай, базистік векторлар жүйесін ортогональ базистік жүйе (базис) деп атайды . , себебі үш вектордың қосындысы. Бұл формула вектордың координат өстерінің орттары арқылы жіктелген түрі деп аталады немесе қысқаша деп жазады. Екінші жағынан = , Осыдан болғандықтан - вектордың модулі (ұзындығы).

1-мысал. Егер , онда

Егер векторы Ох, Оу, Oz өстерімен сәйкесінше бұрыштарын құрса, онда , осыдан

болады. Мұндағы сандары векторының бағыттаушы косинустары деп аталады. Алдыңғы өрнекті вектордың модулінің формуласына қойып, теңдігін аламыз.

бірлік векторының коодинаттары екенін оңай байқауға болады. Сонымен, .

2-мысал. векторы үшін