Арифметичні дії над дійсними невід’ємними числами. Їхні властивості

Відомо, що арифметичні дії над періодичними десятковими дробами трактуються як дії над відповідними їм звичайними дробами. Тому всі властивості арифметичних дій, розглянуті для звичайних дробів, мають місце і для нескінченних періодичних десяткових дробів.

Виконати арифметичну дію над періодичними десятковими дробами можна двома способами:

а) подати дані періодичні десяткові дроби у вигляді звичайних дробів, виконати дію над звичайними дробами і в разі потреби подати результат у вигляді періодичного десяткового дробу;

б) виконати дію над періодичними десятковими дробами подібно до того, як виконується ця дія над десятковими дробами.

Наприклад. Знайти суму 3,(2) + 4,3(42).

а)

б) ₊3,2 2 2 2 2 2 2…

4,2 4 2 4 2 4 2…

7,5 6 4 6 4 6 4… = 7,5 (64).

Означення. Сумою (добутком) двох ірраціональних чисел α і ß називається число, яке більше за суму (добуток) будь-яких їх наближених значень, взятих з недостачею, але менше за суму (добуток) будь-яких їх наближених значень, взятих з надлишком.

Нехай тоді згідно з означенням:

Такий спосіб обчислення забезпечує відповідну точність, проте він досить громіздкий, оскільки доводиться вести подвійні обчислення. На практиці, якщо не потрібна велика тонічність, можна обмежуватись обчисленнями над відповідними десятковими наближеннями, але принаймні прикидкою оцінювати при цьому похибку і враховувати її.

Дії віднімання і ділення дійсних чисел, як і для раціональних чисел, означаються як дії, обернені відповідно додаванню і множенню.

Чи може бути раціональним числом добуток двох ірраціональних чисел? сума двох ірраціональних чисел?

Відповідь на ці запитання дають такі приклади:

1) – раціональне число;

2) – раціональне число.

У множині дійсних невід’ємних чисел зберігаються основні закони і властивості арифметичних дій, які було встановлено для невід’ємних раціональних чисел:

1. Існування і єдиність суми і добутку.

2. Комутативність додавання і множення.

3. Асоціативність додавання і множення.

4. Дистрибутивність множення відносно суми.

5. Закони монотонності додавання і множення.

Проте ірраціональні числа мають і свої особливості. Наприклад, не має смислу говорити, у скільки разів більше за або у скільки разів неправильно вважати дробовим числом або правильним дробом, це числа ірраціональні.