Решение. (а) При условии H = 1, мы видим, что Vm = Zm для 1 ≤ M <L и Gm-L,m+ Zm для L ≤ M <2L

(а) При условии H = 1, мы видим, что V_m = Z_m для 1 ≤ M <L и G_m-L,m+ Z_m для L ≤ M <2L. Таким образом (при H = 1), V_m круговая симметрия комплекса Гаусса с дисперсий в и за действительных и мнимых частях и V_m также круговая симметрия комплекса Гаусса с дисперсией ..То есть, учитывая, H = 1, V_m ~ CN (0, N0) при 0 ≤ M <L и V_m ~ CN (0, E_b / L + N₀) для L ≤ M <2L. Таким же образом, при условии H = 0, Vm ~ CN (0, E_b / L + N₀) при 0 ≤ m <L и V_m ~ CN (0, N₀) для L ≤ M <2L. При условии любой гипотезы, случайные величины V₀,..., V_2L-1 являются статистически независимыми.

Таким образом, отношение вероятности журнала

LLR(v1,…,v2L-1) =ln[= ]

= ln[= ]

= [ ]

где A обозначает коэффициент экспоненты в каждой гауссовой плотностью выше; эти условия отмены из LLR. Обратите внимание, что v2m
является образцом значение энергии Xm в m ном получином символе. ML является правилом, чтобы выбрать H = 0, если и H = 1 в противном случае.

При условии H = 0, мы знаем, что Xm = |Vm| ² для 0 ≤ M <L является экспоненциальной с плотностью α ехр (-αXm) для Xm ≥ 0, где α = . Кроме того, Xm для L ≤ M <2L является экспоненциальным
Плотность β ехр (-βXm) для Xm ≥ 0, где β = 1/N0. Таким образом, мы можем рассматривать как время прибытие L в процессе Пуассона с интенсивностью α. Точно так же мы можем рассматривать как время
прибытия L в независимом процессе Пуассона с интенсивностью β. При H = 0, вероятность ошибки равна вероятности того, что Lth прибытий первого процесса (интенсивность которого α) происходит до Lth прибытия второго процесса (интенсивность которого β). Это вероятность того, что по крайней мере L прибывших из первых процессов и L - 1 прибывших из второго процесса предшествует Lth прибытий из второго процесса, то есть, первая 2L-1 прибывших из двух процессов одновременно состоит из по крайней мере одного прибытия L от процесса 1. По симметрии, результат тот же относится зависимость от H = 1.

(б) основными фактами о процессах Пуассона: сумма двух независимых процессов Пуассона, один с интенсивность α и другой с интенсивностью β, можно рассматривать как единый процесс с интенсивностью α + β, который имеет два типа заездов. Каждое прибытие в сочетании процесс прибытия 1-го типа с вероятностью р = α / (α + β), а в противном случае 2-го типа приезда. Типы независимы между объединенными прибытиями. Таким образом, если мы посмотрим на первую 2L - 1 прибывших из комбинированного процесса, Pr (E | H = 0) = Pr (E | H = 1) вероятно что L или более из этих независимых событий события 1 типа. Из Биномиального расширения,

Pr(e) =

(c) Выражая p как и 1-p как , (50) получается

Pr(e) =

Поскольку β / α = 1 + , это становится

Pr(e) = ()^2L-1 (1+ )^-l

(d) для L = 1, отметим, что 2L - 1 = 1 только при одном значении и это значение l =1. Комбинаторный коэффициент равен 1 и в результате Pr (E) = 1
2 + Eb/N0, как ожидалось. Для L = 2, l идет от 2 до 3 с комбинаторными коэффициентами 3 и 1 соответственно. Таким образом, для L = 2,

Pr(e)= )³ ( + )=

что согласуется с результатом в упражнении 9.13.

Последний член в (52) геометрически убывающая с l и биномиальные коэффициенты также уменьшается. Когда Eb / (LN0) велика, уменьшение значения последнего члена настолько быстро, что все, кроме первого члена, с l = L, может быть проигнорировано. Для больших L, мы можем использовать приближение Стирлинга для каждого факториала в биномиальной члене

(

Таким образом, для L и Eb/LN0 больших по отношению к 1, средний коэффициент в (52) составляет приблизительно 1 и мы имеем

Pr(e)

Принято считать, что Pr (E) убывает как (Eb/4N0)^-L с ростом L, и это верно, если Eb является энергией на бит для каждой степени разнообразия (т. е. для каждого канала крана). Здесь мы предположили, что Eb распределяется между различными степенями разнообразия, которое объясняется дополнительным фактором L. Точка зрения здесь уместна, если человек достигает разнообразия путем распространения имеющихся власть над L полос частот (по образцу здесь L отводов канала), что позволяет достичь частотного разнесения за счет меньшей мощности на одну степень свободы. Если человек достигает разнообразия дополнительных антенн в приемнике, например, целесообразнее взять обычный вид. Приведенный выше анализ охватывает очень частный случай разнообразие, в котором каждый разнообразный путь имеет ту же ожидаемую силу, каждый испытывает плоские замирания Релея, и обнаружение осуществляется без измерения динамически меняющейся сил канала. Складывается очень разные ответы, когда обнаружение делает использование таких измерений, а также, когда передатчик способен регулировать энергию в разные пути. Суть упражнения, однако, показать, что разнообразие может быть выгодно даже в том случае здесь.

(F) для системы проанализированой выше, с Lth разнообразием порядка, рассмотрим результат приемника, который сначала делает жесткие решения по каждому разнообразие путь. То есть, для каждого к, 0 ≤ K ≤ L-1, приемник смотрит на выходах К и L + K и принимает решения независимо от других принятых символов. Вероятность ожибки для одного значения k не исчезает, т.е.

Pr(e, bracnch) =

Заметим, что эта равна Р = 1 / (1 + β / α), как определено в части (б). Теперь предположим, что разнообразие порядока изменяется от L до 2L - 1, т. е. модели с дискретным временем имеет 2L - 1 кранов вместо L. Мы также считаем, что каждый среднеквадратичное значение крана остается на 1 / L (это не было ясно в постановке задачи). Таким образом, приемник теперь делает 2L - 1 трудных решений, каждое правильное с вероятностью р и, учитывая гипотезу, каждое независимо от других. Таким образом, используя эти 2L - 1 трудных решений, чтобы принять окончательное решение, ML правило окончательное решение правления большинства на 2L - 1 локальных жестких решений. Это означает, что окончательное решение в ошибке, если L или более из местных решений являются ошибочным. Так как р есть вероятность локальной ошибки решения, (50) дает вероятность окончательного решения ошибки. Это такая же, как вероятность ошибки с Lth разнообразием порядка решений оптимальным решением получается последовательность. Отметим, что в таких ситуациях, как предполагалось здесь, где разнообразие достигается путем рассеивания доступной мощности, есть дополнительное преимущество 3dB власти в использовании "мягкого решения", которое описано здесь.

9.15

Рассмотрим беспроводной канал с двумя путями, оба одинаковой мощности, действующие на несущей частоте F_c. Предположим, что полоса частот, аналогичная функции системы имеет вид:

ˆg (f, t) = 1 + exp {iφ }exp [ −2πi (f + f_c) τ₂(t)]. (1)

(а) Предположим, что длина пути 1 является фиксированной величиной r₀ , а длина пути 2

г₀ + Δr + VT. Показать (с помощью (1)), что:

ˆg (f,t) ≈ 1 + ехр {} iψ ехр[-2πi(f Δr/c + f_cvt/c)] (2)

Объясните, что означает параметр ψ в (2), также объяснить характер приближении

относительных значений f и f_c.

(б) Обсудите, почему целесообразно определять многолучевое распространение L как Δr / с, а доплеровское распространение D, как F_cV / с.

(в) Предположим, что ψ = 0, т. е. ˆg (0, 0) = 2. Найти наименьшее т> 0, при котором ˆg (0, t) = 0.

Целесообразно, обозначить величину t как T_coh - время когерентности канала.

(г) Найдите наименьшее f> 0 при котором ˆg (f, 0) = 0. Целесообразно обозначить значение f, как частота f_coh канала.