Решение. ha и hr – высота излучающей и принимающей антенн

(а)

h_a и h_r – высота излучающей и принимающей антенн.

Тогда

Учитывая приближения, данные в условии, находим:

Приближение верно для больших r по сравнению с h_a и h_r.

Следовательно, искомое .

(б) и (с)

Используя приближение , упрощаем выражение:

При том, что:

при

В выведенном выражении при данных условиях.

Учитывая это в выведенном выражении, можно найти β:

9.4

Оцените выходной канал y (t) для произвольного входного x (t), в случае когда канал моделируется с помощью мультиканальной модели (9.14). Подсказка: Решение и ответ очень похожи на (9.20), но вы должны продумать возможные последствия изменяющихся во времени затуханий βj (t).

Решение:

Когда канал моделируется с помощью мультиканальной модели (9.14), справедливо выражение и затухание на каждом канале может изменяться во времени. Изменяющейся во времени импульсной характеристикой в таком случае является: .

Следует заметить, что если затухание (t) также является функцией от f, то предыдущие выводы неправильные и обратное преобразование будет зависеть от детального вида β (f, t). Так как она является лишь функцией от t, а t определено в предыдущем обратном преобразовании, зависимость от t не имеет значение. Подставляя это уравнение в обратное уравнение для LTV фильтров, мы получим:

9.5

(а) Рассмотрим беспроводной однополосный канал с доплеровским сдвигом D1. Предположим, что ответом на вход является . Оцените доплеровское распространение и середину между минимумом и максимумом доплеровского сдвига . Оцените и для в (9.24). Найти огибающую выхода, когда вход равен .

(б) Повторить часть (а), для .

Решение:

(а) Так как есть только один канал, и он имеет доплеровский сдвиг D1, доплеровское распространение D = 0, и Δ = D1.

Огибающая выходного сигнала при входном это

Обратите внимание, что в данном случае, есть доплеровский сдвиг, но нет затухания, и огибающая, отражает это отсутствие затухания.

(б) Здесь

есть две полосы: один с доплеровским сдвигом D1 и другой с нулевым доплеровским сдвигом. Таким образом, и .

Огибающей выходного сигнала, при входе является

Обратите внимание, что здесь происходит затухание на частоте .Заметим, что это то же самое, как если бы было две полосы, с доплеровскими сдвигами и . Иными словами, затухание частоты зависит от доплеровского распространения, а не от отдельных сдвигов.

9.6

(a) Огибающая функции ℜ[ y_f (t)] определена функцией | ĥ (f, t)|. Тогда

| y_f (t)| = |e^{2π ift} ĥ (f, t) | = |e ^{2 π ift} | · | ĥ (f, t)| = | ĥ (f, t)|.

Действительно, не имеет значения, какова f, однако определение функции | ĥ (f, t)| как огибающей совпадает с нашей предположительной идеей об огибающей только когда f бесконечно большая.

(b)

(ℜ[ y_f (t)])² = | ĥ (f, t) |²cos²(2π ft + ∠ ĥ (f, t))

= ½· | ĥ (f, t) |²(1 + cos(4π ft + 2∠ ĥ (f, t))).

В результате низкочастотной фильтрации сигнал мощности будет:

½· | ĥ (f,t)|².

С предположением о бесконечно большой f, угол ĥ (f, t) в течение цикла приближается к постоянной, и кратковременное среднее по времени значение мощности следует записать так: (1/2) · | ĥ (f,t) |². Таким образом, в результате низкочастотной фильтрации сигнал мощности может быть интерпретирован как кратковременное среднее по времени значение мощности.

Квадратный корень среднего по времени значения можно записать так:

(| ĥ (f,t)|) / √2,

что является просто масштабируемой версией огибающей функции ℜ[ y_f (t)].

Таким образом, с помощью кратковременной градации, мы можем найти огибающую функции ℜ[ y_f (t)] через возведение в квадрат функции ℜ[ y_f (t)], низкочастотное фильтрование, извлечение квадратного корня и умножения на √2.

9.7

Уравнения (9.34) и (9.35) дают полосы системных функций и импульсного для упрощения многолучевой модели. Заного те формулы используют более общую многолучевую модель(9.14) где каждое затухание i может зависеть от t, но не f.

Решение

Когда канал моделирует многолучевую модель (9.1):

затухание на любом пути может изменятся по времени. Подставляя пункт (9.30) мы получим функцию полосы системы

Где

Решение полосы импульса изображается формулой:

9.8

Легко определить Допплеровское расширение для передачи полосы пропускания как Допплеровское расширение в несущей волне и игнорировать изменения в Допплеровском расширении на полосе. Если f_c равняется 1 gH и W равняется 1 mH, выразите в процентном соотношении ошибку на полосе при этой аппроксимации.

Решение

Допплеровский эффект на заданной траектории τj(t) задан в частоте Dj =−fdτj(t)/dt. Таким образом по полосе (109−106/2,109+106/2), эффект Допплера отклоняется от того, что в центральной части полосы на 0.0005 (0.05%), чем можно пренебречь в большинстве случаев.

9.11

(a) Из уравнение (9.59) в тексте пособия,

Pr[ e |(| G | = ğ)] =½ · exp ((−a² ğ ²)/(2 WN ₀)).

Пока |G| соответствует плотности по распределению Релея,

f _{| G |} (ğ) = 2 ğe ^{− ğ 2}, (49)

вероятность ошибки можно записать так:

Pr(e) = ò ₀^∞ Pr[ e |(| G | = ğ)] f _{| G |} (ğ) dğ

= ò ₀^∞ ğ exp [− ğ ² (1+ (a ²)/(2 WN ₀))] dğ

=[2 + (a ²)/(2 WN ₀) ]⁻¹ = 1/(2 + E_b / N ₀)

что является аналогичным результатом, получаемом в выражении (9.56).

(b) Необходимо найти E[(a /| G |)²]. Пока (a /| G |)² стремится к бесконечности квадратично как | G | → 0 и вероятностная плотность | G | стремится 0 по линейному закону | G | → 0, мы ожидаем, что ожидаемая энергия может быть бесконечным. Чтобы показать это, приведем уравнение:

E[(a /| G |)²] = ò ₀^∞ (a ²/ ğ ²) · f _{| G |} ğ) dğ = ò ₀^∞ (a ₂/ ğ ²) · 2 ğe ^{− ğ 2} dğ

≥ ò ₀¹ (2 a ²/ ğ) · e ⁻¹ dğ = ∞.

9.12

Рассмотрим канал с Релеевским замиранием, в котором канал может быть описан единственным дискретным по времени комплЕксным коэффициентом фильтра. Рассмотрим двоичную связь, в которой для каждой пары моментов времени (времён выборки), посылаются одна или две равновероятнные сигнальные пары: либо (a,a), либо (a, -a). Вывод (выходное значение сигнала) в дискретные моменты времени 0 и 1 описывается выражением:

Величина G имеет плотность G одинаково для m = 0, 1 и независимо от Z₀ и Z₁, которые в свою очередь являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с круговой симметрией и Гауссовым распределением с дисперсией N₀/2 для действительной и мнимых частей.

(a) Рассмотрим преобразование шума:
Покажите, что и статистически независимы и дайте их вероятностную характеристику.

(b) Допустим
Дайте вероятностную характеристику () при U=(a,a) и при U=(a,-a)

(c) Найдите отношение правдоподобия правило нахождения (решения) апостериорного максимума для использования чтобы выбрать

(d) Найти вероятность ошибки, использовав правило решения

(e) Является ли пара V₀, V₁ функцией от . Почему этот вопрос важен

Решение:

(a) Комплексные случайные величины с Гауссовым распределением Z₀ и Z₁ независимы. Это означает, что действительная и мнимая части Z₀ не зависят от действительной и мнимой части Z_1. Так как Z₀ и Z₁ обладают круговой симметрией, то действительная и мнимая часть каждой из величин в отдельности независимы. Таким образом, Z_0,re, Z_0,im, Z_1,re, Z_1,im полностью независимы и имеют Гауссово распределение. Также видно, что они являются одинаково распределенными.
При помощи утомительных расчетов с упомянутыми выше случайными величинами, можно показать, что и тоже независимы, имеют одинаковое распределение и круговую симметрию. Но более рационально использовать факт (смотри 7.8.1) что это линейное преобразование (Z₀,Z₁)^T и таким образом само по себе является Гауссовым вектором, обладающим круговой симметрией и таким образом описывается собственной (комплексной) функцией ковариации. Мы видим, что и Таким образом и независимы и совместную плотность, данную в (7.74).

(b) При U=(a,a), V₀ =aG+Z₀ и V₁ = aG+Z₁
Следовательно,

При U=(a,-a), V₀ =aG+Z₀ и V₁ = -aG+Z₁
Следовательно,
На данном этапе проблема преобразована к проблеме плавного (амплитудного) замирания, рассмотренного в разделе 9.6.1. Существует два варианта. Первый: «a» в тексте соответствует здесь, а дисперсия шума масштабируется по-другому, N₀/W в тексте соответствует N₀ здесь. Второй: Длительность? Сигнала возникает здесь дважды с различными знаками в разных гипотезах. Это ничего не меняет, так как G обладает круговой симметрией и возникает только однажды в каждой из гипотез. (Те кто настроены скептически должны посмотреть на LLR в части (с), чтобы убедиться в этом)

(c) Отношение правдоподобия и правило решения – такие же, как в разделе 9.6.1, только «a» заменяется на , заменяется на ,а заменяется на .
Отношение правдоподобия
Правило решения: Ĥ=0, если и Ĥ=1, если нет.

(d) Согласно (9.56)
Это равенство верно и в нашем случае, если принять 2a² за E_b. Неудивительно, что ответы такие же, как в фундаментальной теории, ведь проблемы те же, включающие ортогональные сигналы в белом шуме

(e) Пара (V_0,V₁) является функцией от , так как и матрица перехода инвертируема. Это важно, потому что показывает, что это достаточная статистика для оптимального определения.
Это упражнение более общее, чем кажется. Два любых гипотезы ортогональных сигналов могут быть аналогичным образом преобразованы в базис, использующий один сигнал в качестве одного базисного вектора и другой сигнал – в качестве второго базисного вектора. Это необходимо для уменьшения проблемы плавного (амплитудного) замирания, так как здесь замирание одинаково во всех степенях свободы

9.13

Рассмотрим распределение затухания канала Рэлея из примера 9.8.1. Вход U = U₀, U₁,..., является одним из двух возможных гипотез, либо u⁰ = (, 0, 0, 0) или

u¹ = (0, 0, , 0), где U _l = 0 для l ≥ 4 для обеих гипотез. Результатом является дискретное время сложной последовательности V = V₀, V₁,..., данное для

V_m = G_0,mU_m + G_1,m,U_m-1 + Z_m.

Для каждого m, G_0,m и G_1,m независимы и одинаково циркулярно распределены симметричным комплексом Гауссовских случайных величин с G_0,m ~ CN (0, 1/2) для обоих m 0 и 1. Корреляция G_0,m и G_1,m c m не имеет значения, и можно предположить, что они некоррелированы. Предположим, что последовательность Z_m ~ CN (0, N₀) представляет собой последовательность независимых циркулирующей симметрией случайных величин. Сигнал, шум и распределения канала являются независимыми. Как пояснили в примере, энергия вектора X = (X₀, X₁, X₂, X₃)^T, где X_m = |Vm|² является достаточной статистикой для гипотезы u⁰ и u¹. Кроме того, как уже объяснил, эти энергетические величины независимы и даны экспоненциально гипотезой. Более конкретно, определим и . Тогда, учитывая U = u⁰, переменные X₀ и X₁ имеют плотность αе^–αх и X₂ и X₃ имеют плотность βe^–βx, все для х ≥ 0. Учитывая U = u¹, эти плотности меняются местами.

(a) Дайте плотность вероятности X с условием u⁰.

(b) Покажите, что отношение журнала вероятности дается

LLR (х) = (β – α) (x₀ + x₁ – x₂ – x₃).

(с) Пусть Y₀ = X₀ + X₁ и пусть Y₁ = X₂ + X₃. Найти плотность вероятности и функцию распределения для Y₀ и Y₁ с условием u⁰.

(d) При условии U = u⁰, заметим, что вероятность ошибки равна вероятности того, что Y₁ превышает Y₀. Показать, что это дается

,

Подсказка: Чтобы получить второе выражение, необходимо сначала преобразовать первое выражение функции β / α. Напомним, что

и

(e) Объясните, почему предположение, что G _k,i G _k,j некоррелированы для i ≠ j не было необходимо.

Решение:

(a) Так как X₀, X₁, X₂, X₃ независимы и первые два имеют плотность αе^–ах и вторые две имеют плотность βe^–βx при u⁰,

𝑓

𝑓

(b) Принимая отношение журнала,

LLR (х) = (β – α)(x₀ + x₁) – (β – α)(x₂ + x₃) = (β – α)(x₀ + x₁ – x₂ – x₃).

(с) Свертка плотности для X₀ (при условии u⁰) с условной плотностью для X₁,

𝑓 .

Точно так же,

𝑓 .

(d) Учитывая, U = u⁰, ошибка происходит, если Y₁ ≥ Y₀. Это несколько утомительно, но, вероятно, самый простой подход, чтобы сначала найти Pr(е) при условии u⁰ и Y₀ = y₀ а затем умножить на условную плотность y₀ и интегрировать ответ на y₀.

Pr (e | U = u⁰, Y₀ = y₀) = .

Выполнение окончательного утомительно интеграции,

Pr (e) = Pr (e | U = u⁰) = .

Так как β/α = 1 E_b/2N₀, это дает окончательное выражение для Pr(e). Следующее упражнение обобщает это и результат становится более важным.

(е) Технически, мы никогда не использовали любые предположения об этой корреляции. Причина такая же, как в случае с плоскими затуханиями. G₀,₀ и G_1,0 влияют на результат в рамках одной гипотезы и G_0,2 и G_1,2 под другой, но они никогда ничего не вводят вместе.

9.14

Условие

(Lth порядка разнообразия) это упражнение связано с вероятность ошибки для Lth разнообразие порядка на затухание канал Релея. Для конкретной модели описаны в конце раздела 9.8, есть L краны с резьбой линии задержки для канала. Каждый кран к умножает ввод Gk,м~CN (0, 1 / L), 0 ≤ K ≤ L-1. Двоичные входы u0 = , 0,..., 0 и u1 = (0,..., 0, Eb, 0,..., 0), где u0 и u1 содержать сигнал 0 и L соответственно.

Комплекс принимаемого сигнала в момент времени m Vm = при 0 ≤ M ≤ 2L-1, где Zm ~ CN (0, N0) является независимой с течением времени и не зависит от входного канала. Как показано в разделе 9.8, множество энергий, Xm = | Vm | ², 0 ≤ M ≤ 2L-1, условно независимыми, учитывая, либо u0 и u1, и представляют собой достаточную статистику для обнаружения; ML правило обнаружения выбрать u0, если и выберите u1 иначе. Наконец, зависимость от u0, X0,..., XL-1 являются экспоненциальные со средним N0 + √Eb / L. Таким образом, для 0 ≤ M <L, Xm имеет плотность α ехр (-αXm), где α = . Аналогично, для L ≤ M <2L, Xm имеет плотность β ехр (-βXm), где β =

(a) после части упражнения продемонстрировать простой метод для вычисления вероятности ошибки Pr (е) для обоих гипотез. Это вероятность того, что сумма L н.о.р. экспоненциальной случайных величин скорости α меньше, чем сумма L одинаково распределенных случайных величин экспоненциальной скорости β = N0. Просмотр первой суммы, то есть, (при u0) как время Lth прибытие в процессе Пуассона скорости α и просмотра второй суммы, , как время прибытия в Lth пуассоновского процесса скорость β (см. Рисунок 9.18). Обратите внимание, что понятие времени здесь не имеет ничего общего с реальной проблемой обнаружения и строго математической хитрость для просмотра проблему с точки зрения процессов Пуассона. Рисунок 9.18: пуассоновского процесса с временем между {Xk, 0 ≤ K <L}, а другой с временем {XL ; 0 ≤ < L} между. Комбинированный процесс может быть показано, что процесс Пуассона скорости α + β.

Показать, что Pr (е) вероятность того, что из первой прибывших в комбинированном процессе Пуассона выше, по крайней мере, L тех, прибывших из первого процесса.

(b) Каждый прибытия в комбинированном пуассоновского процесса независимо взяты из первого процесса с вероятностью p = и от второго процесса с вероятностью 1-р = . Показать

Pr(e) =

(c) выразить этот результат с точки зрения α и β, а затем в условиях
(d) Использование результатов выше, чтобы пересчитать Pr (E) для затухания Рэлея без разнообразия (т. е. с L = 1). Используйте его с L = 2 для проверки ответа в упражнении 9.13.

(e) Показать, что Pr (E) для очень больших Eb/N0 уменьшается с ростом L как [Eb / (4N0)] L.

(f) Показать, что Pr (е) для Lth порядка разнообразие (с помощью ML обнаружения и выше) точно такая же, как вероятность ошибки, которая приведет с помощью (2L-1) порядка разнообразие, что делает жесткие решения на основе каждая разнообразие продукции, а затем с помощью правления большинства, чтобы принять окончательное решение.