Примеры вычисления неопределенных интегралов

1. Вычислить интеграл .

Интегрируем по частям:

Имеем:

Полученный интеграл ещё раз интегрируем по частям:

Окончательно получим:

2. Вычислить интеграл .

Интегрируем по частям:

.

Имеем:

.

Мы получили интеграл той же сложности, что и исходный. Проинтегрируем его ещё раз по частям:

,

Тогда:

.

Отсюда получим:

.

Перенесём интеграл из правой части последнего равенства в левую и найдём его как из уравнения:

Тогда окончательно:

3. Вычислить интеграл .

Сделаем подстановку , тогда . Тогда интеграл примет вид

.

При решении этой задачи можно рассуждать иначе. Введём множитель под знак дифференциала, тогда получим

.

4. Вычислить интеграл

Запишем интеграл в виде , тогда удобно сделать замену , .

Интеграл примет вид

.

5. Вычислить интеграл .

Числитель напоминает дифференциал от Кроме того, легко выражается через : , т. е. целесообразна подстановка , тогда

.

6. Вычислить интеграл .

Так как , то корни вещественные и

Разложим дробь , следовательно . Пусть тогда ; пусть , тогда .

Таким образом:

.

7. Вычислить интеграл .

После деления числителя на знаменатель, получаем частное и в остатке 3, так, что

.

Разложим дробь

, при , , при , .

Тогда

.

Значит исходный интеграл будет иметь вид

.

8. Вычислить интеграл .

Воспользуемся подстановкой:

Тогда получим

9. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция чётным образом зависит и от , и от , поэтому применяем подстановку .

Разделим числитель и знаменатель дроби на и введём под знак дифференциала множитель .

В итоге получим:

10. Вычислить интеграл .

Преобразуем подынтегральную функцию. Так как и , то:

.

Тогда

.

Воспользуемся этим преобразованием для вычисления исходного интеграла

.