Интегрирование некоторых видов иррациональностей

При интегрировании иррациональных функций основная задача заключается в выборе такой подстановки, которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное.

Рассмотрим интеграл вида

.

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки .

Пример. Вычислить интеграл . Под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому используем подстановку . Отсюда . Заменяя переменную в интеграле, получим:

Рассмотренный интеграл является частным случаем интеграла

.

В этом случае подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

В общем случае интеграл имеет вид:

,

где — рациональные числа.

Для решения необходимо найти общий знаменатель дробей и воспользоваться подстановкой .

Пример.Вычислить интеграл . Используем подстановку , тогда   Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, получим: