Интегрирование элементарных дробей

Определение. Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

·

·

·

· ,

где m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4 ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей приводятся к табличным подстановкой вида . То есть:

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей третьего вида.

Интеграл дроби третьего вида может быть представлен следующим образом:

Таким образом, интеграл третьего вида приводится к двум табличным интегралам.

Пример. Вычислить интеграл .

Для вычисления интеграла четвертого вида сначала необходимо воспользоваться следующим преобразованием:

.

После этого необходимо воспользоваться следующей заменой переменных:

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u² + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рекуррентная формула:

Если применить эту формулу n -1 раз, то получится табличный интеграл .

Пример. Вычислить интеграл .