Интегрирование рациональных функций. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби. Рассмотрим рациональную функцию , где — многочлен степени , — многочлен степени .

Если , то есть дробь неправильная, то её можно представить в виде , где - правильная дробь. Взятие интеграла от первого слагаемого не вызывает сложностей. Второе слагаемое - правильная дробь может быть разложена на элементарные дроби указанных выше четырех видов. Для разложения правильной дроби необходимо воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Если - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: = (x - a)^a…(x - b)^b(x² + px + q)^l…(x² + rx + s)^m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, Т_i, S_i – некоторые постоянные величины.

Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, Т_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов (суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х).