Математические модели непрерывных и дискретных систем и их представление в MATLAB

Дискретный сигнал образуется из непрерывного в результате квантования по времени с последующим запоминанием квантованного сигнала на интервале дискретности . В структурной схеме (рис.4.1) этим операциям соответствуют два

блока: квантователь (ключ, замыкаемый на бесконечно малое время) и запоминающий элемент. Заметим, что ни один из этих блоков не является моделью реального устройства, но их комбинация точно отражает связь между входом и выходом реального устройства выборка/хранение. Поэтому в MATLAB эти два блока объединены и представлены одним блоком - экстраполятором нулевого порядка.

Следует отметить, что выход экстраполятора имеет вид единичной ступенчатой функции и поэтому он точно восстанавливает постоянный сигнал. Следовательно, при постоянном сигнале на входе квантователя, комбинация из квантователя и экстраполятора не оказывает никакого влияния на работу системы и ее присутствие может быть проигнорировано. На рис.4.9 представлены структурные схемы разомкнутых систем регулирования, иллюстрирующие это положение. Структурная схема рис.4.9.A соответствует аналоговой системе, рис.4.9.B – аналоговой системе с экстраполятором нулевого порядка, рис.4.9.C – аналоговой системе со звеном чистого запаздывания, структурные схемы на рис.4.9.D-4.9.F соответствуют системе с Z-передаточными функциями. Так как запоминающий элемент при данном входном сигнале не оказывает влияния на работу системы, то переходные функции систем (рис.4.9.A и рис.4.9.B) совпадают (Scope1). Переходная функция системы (рис.4.9.С) со звеном запаздывания незначительно отличаются от переходных функций, рассмотренных в структурах рис.4.9.А и рис.4.9.В. Это отличие связано с тем, что звязь между интервалом дискретности и временем чистого запаздывания τ выполняется приближенно . При уменьшении отличия так же будут уменьшаться, а при отличия исчезнут.

Рис.4.9. Структурные схемы аналоговых и дискретных систем (a_Mod AN_DIS_01)

Командой с2d при заданном в пакете Control System Toolbox определена передаточная функция дискретного регулятора, с использованием которого представленные структурные схемы дискретных систем (рис.4.9.D,C,F).

На рис.4.9.D запоминающий элемент стоит на входе и выходе регулятора, а на рис.4.9.E запоминающий элемент стоит только на входе регулятора, на рис.4.9.F запоминающий элементов нет. Однако переходные функции (Scope 2) трех дискретных систем одинаковы. Это объясняется тем, что команда c2d определяет Z-передаточную функцию дискретной системы с учетом экстраполяторов, стоящих на входах и выходах дискретных частей системы.

Рис.4.10.Переходные функции исследуемых систем соответствующим структурам рис.4.9.

Сравнение переходных характеристик аналоговой системы (кривая 1) с переходными характеристиками дискретной системы (кривая 2) показывает их незначительное отличие, заметное только при большом увеличении. Если исследовать структуры рис.4.9 аналитическим методом, то нет различия в переходных характеристиках. Учитывая эквивалентность структурных схем, представленных на рис. 4.9, можно получить одинаковые результаты, представляя передаточные функции исследуемых систем через непрерывное преобразование Лапласа с предварительно включенным запоминающим элементом нулевого порядка или через Z- передаточные функции. Это достигается при выполнении условия: интервал дискретности нулевого запоминающего устройства и дискретной передаточной функции должны быть одинаковы.

В дальнейшем, при анализе систем регулирования, будут использованы логарифмические амплитудные (ЛАЧ) и логарифмические фазовые (ЛФЧ) характеристики. В пакете MatLab они могут быть построены на плоскостях P W. На плоскости P ЛАЧ и ЛФЧ характеристики строятся командой bode в диапазоне от нуля до частоты (частота Котельникова). Используя команду bode имеется возможность построить ЛАЧ и ЛФЧ характеристики при разных значениях По сравнению с плоскостью P плоскость W расширяет частотный диапазон для построения логарифмических характеристик, но требует более трудоемкой подготовки исходных данных и применения в MatLab пакете символьной математики – Symbolic Math Toolbox. Сравнительные характеристики использования в пакете MatLab плоскости P и W будут приведены при рассмотрении конкретных примеров.

Вышеприведенные замечания будут использованы при расчете двухконтурной системы регулирования (рис.4.11). Объектом регулирования является двигатель постоянного тока независимого возбуждения.

Принимаемые и рассчитываемые величины:

Исходные данные для расчета системы определяются из паспортных данных. Номинальная мощность кВт; номинальные обороты ; сопротивление якорной цепи Ом; индуктивность якорной цепи Гн; момент инерции двигателя ; номинальный ток ; номинальное напряжение питания двигателя ; некомпенсируемая постоянная времени с.

Перегрузочная способность двигателя по току ; линейные участки усилителей ±10 В.

По паспортным данным двигателя определяем необходимые для расчета данные

; ;

; .

Внутренний контур настраиваем на технический оптимум

; (4-25)

. (4-26)

Коэффициент усиления преобразователя определяют как отношение

.

Коэффициент усиления датчика тока определяется выражением

.

1. Построение частотных характеристик. Используя команды пакета Control System Toolbox, строим ЛАЧ и ЛФЧ характеристики непрерывной системы – оптимизированного контура тока. Предварительно в m-файле определяем исходные данные