![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сложность расчета и исследования цифровых систем управления непрерывными объектами, даже в линеаризованном виде (без учета квантования по уровню), определяется в значительной степени тем, что объект управления описывается дифференциальными уравнениями или передаточными функциями в области комплексного аргумента , а алгоритм работы ЭВМ – разностными уравнениями или передаточными функциями от аргумента
дискретного преобразования Лапласа. В зависимости от того, в области какого аргумента рассматривается вся система, разработанные методы анализа и синтеза цифровых систем управления [13, 14] условно можно разделить на две группы.
Первая группа методов предполагает описание всей системы в области комплексного аргумента , поэтому требует дискретной аппроксимации непрерывных объектов.
В методах второй группы система управления полностью рассматривается в области комплексного аргумента (плоскость
). В хорошо разработанной теории линейных систем известны различные методики выбора корректирующих устройств использующие: частотные характеристики [15], корневой годограф [16], интегральные оценки качества [17], соотношения в системах подчиненного регулирования [18] и т.д. Если осуществлять анализ цифровой системы на плоскости P, то опыт расчета и наладки непрерывных систем может в значительной степени использоваться и при расчетах цифровых систем. В этом случае система рассчитывается как непрерывная, определяются параметры непрерывного регулятора, а затем по параметрам непрерывного регулятора определяется дискретная передаточная функция регулятора, т.е. определяется программа работы ЭВМ. Это позволяет ошибки, обусловленные реализацией непрерывных алгоритмов средствами цифровой техники, разделить на два типа и предложить методы их компенсации.
К ошибкам первого типа относятся ошибки от замены непрерывной кривой ступенчатой (ошибки дискретной аппроксимации). Второй тип ошибок учитывает преобразование цифрового сигнала в непрерывный и эффект «чистого» запаздывания на величину (время обработки алгоритма).
Проанализируем ошибки дискретной аппроксимации, а для этого рассмотрим уравнение идеализированного аналогового ПИД-регулятора
, (4-11)
где - коэффициент передачи;
- постоянные интегрирования и дифференцирования соответственно.
Для малых тактов квантования непрерывное уравнение (4-11) можно преобразовать в разностное. При этом производная заменяется разностью, а интеграла - суммой. Непрерывное интегрирование может быть заменено интегрированием по методу прямоугольников или трапеций.
При использовании метода прямоугольников получаем
. (4-12)
С помощью выражения (4-12) имеется возможность определить с помощью не рекуррентного и рекуррентного алгоритма. В выражении (4-12) для определения суммы с помощью не рекуррентного алгоритма необходимо помнить все
предыдущих значений входного сигнала
. Реализации этого алгоритма потребует задействовать
ячеек для хранения входных величин
и, кроме того, значения
каждый раз вычисляются заново, что увеличивает аппаратурные и временные затраты.
Для реализации на ЭВМ более удобен рекуррентный алгоритм, в котором для вычисления текущего значения используется его предыдущее значение
и поправочный член. Для получения рекуррентного алгоритма достаточно вычесть из уравнения (4-12) уравнение (4-13), записанное для предыдущего интервала дискретности:
(4-13)
В результате получим:
(4-14)
где,
(4-15)
В рекуррентном алгоритме для определения текущего значения необходимо знать его предыдущее значение
и некоторую добавку, определяемую правой частью выражения (4-14). Это выражение показывает, что для реализации рекуррентного алгоритма на ЭВМ требуется стековая память на три ячейки для входного сигнала
и стековая память на две ячейки для выходного сигнала
. Содержимое ячеек умножается на коэффициенты
, которые для малых тактов квантования вычисляются через параметры
аналогового ПИД-регулятора в соответствии с выражениями (4-15). Содержимое ячеек обновляется через интервал дискретности
. Поэтому
.
Таким образом, для вычисления выхода регулятора (ЦВМ) в данный момент времени необходимо провести вычисления по выражению (4-14), т.е. к запомненному выходу регулятора предыдущего интервала дискретности добавить, с весами
, сигналы ошибки (входы регулятора) в текущий и два предыдущие моменты времени.
Воспользуемся для аппроксимации интеграла методом трапеций. Тогда дискретное уравнение идеализированного ПИД-регулятора (4-11) запишется следующим разностным уравнением:
(4-16)
Приведя это уравнение к рекуррентному алгоритму, т.е. из уравнения для определения вычитаем уравнение для определения
, получим выражение, описывающее динамику дискретного закона управления:
(4-17)
где,
(4-18)
Сравнение выражений (4-14) и (4-15) с выражениями (4-17) и (4-18) показывает, что при изменении метода аппроксимации алгоритм вывода уравнения не меняется, а меняются только численные значения коэффициентов . Таким образом, при малых
имеется возможность перейти от непрерывного уравнения (4-11) к разному (4-13), в котором коэффициенты
определяются через параметры непрерывной системы
,
и
и зависят от принимаемой величины
.
Выразим уравнение (4-14) через дискретное изображение входного и выходного сигналов, а затем определим Z-передаточную функцию регулятора:
;
. (4-19)
Коэффициенты зависят от вида аппроксимации. При прямоугольной аппроксимации они определяются выражением (4-15), а при трапециидальной – выражением (4-18). Тип регулятора зависит от передаточной функции объекта регулирования. Если объект апериодическое звено, то целесообразно применять ПИ-регулятор и поэтому в выражении (4-19)
.
Величина входит в выражения, определяющие коэффициенты
,и при уменьшении
уменьшаются ошибки первого типа. Теоретическим пределом, ограничивающим уменьшение
, являются частота дискретизации, определяемая полосой пропускания системы, и шумы округления, увеличивающиеся при уменьшении
и связанные с тем, что нули и полюсы передаточной функции регулятора приближается к единице при
[20]. Так как шумы округления зависят от длины разрядной сетки ЭВМ (типа ЭВМ), то их влияние на выбор
не рассматривается.
Определим влияние изменения на параметры дискретного регулятора. При этом подчеркнем, что
и определяет быстродействие микро ЭВМ (частоту выдачи управляющего воздействия).
Аппроксимация прямоугольная, параметры системы взяты из примера, который будет использоваться в дальнейших расчетах. При этом учитываем, что постоянная времени интегрирования (где
- электромагнитная постоянная времени якорной цепи двигателя)
;
;
.
№ п.п. | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | 0,001 | ![]() | |
0,003 | ![]() | ||
0,004 | ![]() | ||
0,005 | ![]() | ||
0,006 | ![]() |
Результаты расчетов показывают изменение положения нулей дискретного регулятора при изменении : при уменьшении
нули приближаются к единице.
Определим параметры ПИ-регулятора при тех же исходных данных, но при трапециидальной аппроксимации.
;
.
№ п.п. | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
0,001 | 0,2099 | -0,1861 | ![]() | |
0,003 | 0,2338 | -0,1622 | ![]() | |
0,004 | 0,2457 | -0,1503 | ![]() | |
0,005 | 0,2576 | -0,1384 | ![]() | |
0,006 | 0,2696 | -0,1264 | ![]() |
Ошибки второго типа, связаны с эффектом «чистого» запаздывания и с вводом запоминающего элемента, могут быть определены на основании изучения частотных свойств передаточной функции [21]
. (4-20)
Представим выражение (4-20) в показательной форме
(4-21)
Последнее выражение показывает, что введенные блоки цифровой системы вносят дополнительное фазовое запаздывание.
. (4-22)
Величина запаздывания определяется параметрами ,
и зависит от круговой частоты
. Чтобы можно было пренебречь ошибками второго типа, запаздывание, определяемое выражением (4-22) на частоте среза системы
,
не должно вносить фазовый здвиг, превыший однин градус [21], т.е.
. (4-23)
Если это условие не выполняется, то для компенсации ошибок второго типа в прямой канал регулирования целесообразно ввести дополнительное корректирующее звено
. (4-24)
Причем, коэффициенты и
должны быть по модулю меньше единицы, и, кроме того, коэффициент
должен быть расположен правее коэффициента
. Точное значение
и
можно определять по разным методикам. Если расчеты ведутся графическим методом, то целесообразно использовать логарифмические частотные характеристики желаемой и располагаемой системы, если расчеты ведутся аналитическим методом, то используются передаточные функции желаемой и располагаемой систем регулирования. Более детально этот вопрос будет рассмотрен в последующих параграфах.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий целесообразность ввода корректирующего звена. Время вычисления управляющего воздействия составляет . Тогда, резервируя
времени на связь с внешним устройством, можно считать минимально возможным период дискретности
. Частота среза средних по быстродействию систем составляет
. Подставим полученные данные в выражении (4-22) и определим
.
Расчеты показывают, что условия (4-23) не выполняются. Следовательно, необходимо либо увеличить быстродействие микро ЭВМ либо, что значительно дешевле, ввести дополнительное корректирующее устройство.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 540 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!