Математический аппарат дискретных систем

Исследование дискретных систем в пакете MATLAB

Приведен математический аппарат, структурные схемы дискретных и цифровых систем. Дискретные системы исследуются на P, Z и W плоскостях. Приводятся методики расчета дискретных регуляторов и корректирующих устройств на Z и W плоскостях. Все расчеты иллюстрируются программами MatLab из Simulink и Control System Toolbox.

Цель – сформировать навыки расчета дискретных систем с использованием P, Z и W плоскостей. По заданным требованиям к системе, уметь определить параметры дискретного регулятора, а в случае необходимости ввести корректирующее устройство, и методами моделирования в пакете Simulink и Control System Toolbox проверить правильность выполненных расчетов.

Математический аппарат дискретных систем

В предыдущих разделах рассматривались аналоговые системы, работающие в непрерывном времени, поведение которых описывается непрерывными дифференциальными уравнениями. Как было показано выше, модель линейной стационарной непрерывной системы можно представить в виде:

- дифференциального уравнения n -го порядка;

- системы из n дифференциальных уравнений первого порядка;

- в виде передаточной функции n -порядка, если воспользоваться преобразова-нием Лапласа.

Если в системе существует хотя бы один элемент, в котором сигнал изменяется скачком, то такие системы называются дискретными и процессы в этих системах описываются разностными уравнениями. Подобно непрерывной системе, математическую модель дискретной системы так же можно представить:

- в виде разностного уравнения n -го порядка;

- в виде системы из n -разностных уравнений первого порядка;

- в виде Z-передаточной функции, если описывать процесс в дискретной системе на Z-плоскости в форме Z-передаточной функции n -порядка.

Разностное уравнение можно получить из непрерывного дифференциального уравнения вводом дискретного времени и заменой производных соответствующими разностями.

Предположим, что имеется цифровая система управления. Для облегчения анализа будем считать, что ЭВМ выполняет только линейные операции, а хранящиеся в его памяти константы не зависят от времени. Поскольку ЭВМ является цифровым устройством, работающим в реальном времени, то информация в неё может быть принята только в дискретные моменты времени, разделённые интервалом . Тогда сигнал, поступающий в ЭВМ, можно представить в виде числовой последовательности , , , которую обозначим через . Очень часто параметр опускается и тогда обозначение последовательности упрощается - .

Будем считать, что время, затраченное ЭВМ на обработку информации, ничтожно мало и им можно пренебречь. Во многих случаях это допущение оправдано. Если временем обработки информации пренебречь нельзя, то следует ввести последовательно с ЭВМ блок чистого запаздывания. Предположим, что при на вход ЭВМ подается сигнал . Так как обработка информации осуществляется мгновенно, то связь между входным и выходным сигналом выразится соотношением

, (4-1)

где - константа.

При на входе ЭВМ подается сигнал . Тогда выходной сигнал , с учетом запомненных предыдущих значений и , и соответствующих коэффициентов веса и , будет определяться более сложным выражением

. (4-2)

Аналогично, будет иметь вид

.

Таким образом, используя операции умножения и сложения, выполняемые ЭВМ, получим разностное уравнение, общий вид которого (параметр опущен) имеет вид:

.

Разностное уравнение можно получить и чисто математически: путем замены производных соответствующими разностями:

– первая обратная разность;

– первая прямая разность.

Вторые разности определяются через первые разности

При такой замене дифференциальное уравнение первого порядка аппроксимируется разностным уравнением первого порядка; дифференциальное уравнение второго порядка – разностным уравнением второго порядка и т.д. Описанный способ аппроксимации дает удовлетворительный результат, когда период квантования меньше постоянной времени .

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

.

Заменяя производную разностью, получим

.

Решая последнее уравнение относительно , имеем

.

Переходя к дискретному времени , получим разностное уравнение

. (4-3)

Введем обозначение , и запишем разностное уравнение (4-3) в более компактном виде

. (4-4)

Из (4-4) видно, что интегрирование дифференциального уравнения методом Эйлера (замена производных соответствующими разностями) приводит к получению разностного уравнения.

Рассмотрим теперь представления математической модели дискретных систем – в виде Z-передаточных функций. Для этого умножим левую и правую часть выражения (4-4) на и просуммируем полученные выражения

. (4-5)

Используя Z-преобразования и теорему о сдвиге, запишем Z-преобразование уравнения (4-5)

.

Определив отношение Z-изображений выходной величины к входной, получим Z-передаточную функцию

. (4-6)

Существует несколько методов, что бы получить решетчатую функцию, т.е. обратное Z-преобразования. Наиболее простой, связанный с делением числителя на знаменатель, проиллюстрируем на основе рассмотрения разностного уравнения

где - задающее воздействие.

Используя теорему о сдвиге, получим Z-преобразование разностного уравнения

,

или

. (4-7)

Изображение, задающее последовательность , определяется выражением

. (4-8)

Путем деления числителя на знаменатель можно убедиться, что оригиналом является последовательность .

Подставляя значение из выражения (4-8) в выражение (4-7), получим

.

Путем деления числителя на знаменатель представим в виде степенного ряда по убывающим степеням .

.

Переходя во временную область, запишем решетчатую функцию через интервал

. (4-9)

Таким образом, коэффициенты ряда являются ординатами решетчатой функции.