Случайные величины. § 1. Понятие случайной величины

Случайная величина – количество очков, выпавшее при бросании игральной кости.

– множество значений.

Пример 2.

Случайная величина – угол между начальным направлением и направлением остановившейся стрелки рулетки.

– множество значений.

Определение. Распределением (законом распределения) дискретной случайной величины называется функция, сопоставляющая каждому возможному значению случайной величины ее вероятность (), причем .

Распределение дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений удобно задавать таблицей.

Пример 3.

Закон распределения из примера 1 имеет вид:

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину, указывая возможные значения и вероятности, с которыми эти значения появляются в результате испытаний.

Перейдем к обсуждению понятия распределения непрерывной случайной величины. Рассматривают два вида распределений непрерывной случайной величины: интегральное и дифференциальное, их также называют интегральной и дифференциальной функциями распределения, интегральным и дифференциальным законами распределения.

Определение. Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины называется функция переменной , выражающая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее, чем число , т.е.

.

Свойство 1. .

Доказательство следует из определения интегральной функции распределения как вероятности.

Свойство 2.

– неубывающая функция, т.е. из .

Доказательство.

Событие можно подразделить на два несовместных события и . По теореме сложения вероятностей имеем:

.

Отсюда

. (1)

Вероятность любого события неотрицательна, следовательно .

Свойство 3. .

Доказательство.

В формуле (1) при , имеем

.

Следствие. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное значение, равна 0.

Доказательство.

.

Пусть . Т.к. – непрерывная случайная величина, то функция – непрерывна. Отсюда .

Замечание 1. Из доказанного следствия имеем

.

Замечание 2. Было бы неправильно думать, что означает, что событие невозможно.

Свойство 4. Если возможные значения случайной величины принадлежит интервалу , то:

1) при ;

2) при .

Доказательство.

Пусть , тогда событие – невозможно и .

Пусть , тогда событие – достоверно и .

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси , то справедливы следующие предельные соотношения:

и .

Определение. Пусть – непрерывная случайная величина и – ее интегральная функция распределения. Пусть, кроме того – дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Производная интегральной функции распределения называется дифференциальной функцией (дифференциальным законом) распределения непрерывной случайной величины .

Свойство 1. Дифференциальная функция распределения – неотрицательная функция:

.

Доказательство.

Интегральная функция распределения – неубывающая, следовательно, .

Свойство 2. .

Свойство 3. .

Доказательство.

.

Следствие.

Замечание 1. Значения функции называют обычно плотностью вероятности случайной величины . Такое название объясняется следующими обстоятельствами:

.

есть “средняя вероятность”, т.е. вероятность , отнесенная к единице длины.

Замечание 2. Понятие интегральной функции распределения имеет место и для дискретных случайных величин. График этой функции в таком случае имеет ступенчатый вид.

Для описания дискретной случайной величины понятие дифференциальной функции распределения неприменимо.

§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и
среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства

… …

Определение 1. Пусть – дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

(1)

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

. (2)

Определение 2. Пусть – непрерывная случайная величина и – ее дифференциальная функция распределения. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число

(3)

(имеется ввиду, что интеграл (3) сходится).

Математическое ожидание, как дискретной, так и непрерывной случайной величины, имеет следующий вероятностный смысл.

Пусть проведено испытаний, в результате чего получены значения случайной величины : , , …, . Среднее арифметическое этих чисел при больших близко к .

Поясним вышесказанное на примере дискретной случайной величины . Если имеет распределение (1), то в результате испытаний ( – большое) мы получим раз значение , раз – значение
, …, раз – значение . Среднее арифметическое полученных в результате испытаний значений равно:

.

В связи с этим математическое ожидание называют также средним значением случайной величины.

Замечание. Математическое ожидание является постоянным, не зависящим от опыта числом, характеризующим определенное свойство случайной величины, а именно – устойчивость среднего арифметического полученных в результате испытаний значений.