Дәріс 14. Тақырыбы: Максвелл теңдеулер

Қарастырылатын сұрақтар:

Максвелл теңдеулері және электромагниттік толқындардың негізгі қасиеттері. Ығысу тоғы. Максвелл теңдеулерінің жүйесі және жеке теңдеулердің физикалық мағыналары. Электромагниттік өріс энергиясының сақталу заңы. Энергия ағынының тығыздығы. Умов-Пойтинг векторы.

Дәріс мазмұны:

Фарадей ашқан электромагниттік индукцияның негізгі заңы бойынша э.қ.к.:

, (14.1)

мұндағы Ф_m- магнит индукциясының ағыны. Ол өз кезіндегі төмендегідей формула бойынша анықталады:

Ф_m = , (14.2)

бұл жерде S- тұйық контурдың ауданы; В_n-магнит индукциясы векторы В-ның ауданға нормаль -ге проекциясы. Тұрақты ток бөлімінде келтірілген анықтама бойынша тұйық контурдағы э.қ.к.:

(14.3)

кернеулік векторының контур элементі - бағытына проекциясы. Келтірілген (14.1) және (14.2) теңдеулердің оң жақтарын өзара теңестіретін болсақ, онда (14.2) ескере отырып алатынымыз:

E_l ^. dl . (14.4)

-дербес туынды магнит индукциясының ағынының тек уақытқа тәуелділігін көрсетеді.

Алынған (14.4) соңғы теңдеуден, байқайтынымыз магнит өрісінің өзгерісі, айнымалы электр өрісінің пайда болуының себепшісі екені. Кернеулік векторының циркуляциясы нольден өзгеше, демек бұл магнит өрісі қоздырған электр өрісі, потенциалды өріс емес, құйынды өріс екендігін дәлелдейді. Құйынды өрістің күш сызықтары тұйық және олардың кеңістікте өткізгіштің бар-жоғына байланыссыз-ақ пайда болатындығын көрсетеді. Аталған (14.4) теңдігінің негізінде осындай қортындыға келген Максвелл болды. Сондықтан (14.4) теңдігі Максвелдің интегралды түрдегі бірінші теңдеуі деп аталады. (14.4) теңдігіне және де көптеген тәжірибе көрсеткіштерін талдай отырып, Максвелл кері құбылыстың болуы ықтимал деген қортындыға келген. Яғни, оның болжауынша, өзгеруші электр өрістің күш сызықтары тұйықталған магнит өрісін туғызуға тиіс. Максвелдің бұл болжамының дұрыстығына төмендегідей тәжірибе көз жеткізуге болады. Құрамында конденсаторы бар айнымалы ток тізбегін қарастырайық. Тығыздығы өткізгіштік ток тізбек бөліктерінде магнит өрісін туғызады.Бұл тізбекте қозғалыстағы зарядтардан пайда болған өткізгіштік ток жалғаушы сымдардан жүреді де конденсатордың астарындағы саңылауда (аралықта) ток болмайды. Бірақ, бұл уақыт мезеттерінде конденсатор зарядталып және разрядталып тұрғандықтан астарладың арасында айнымалы электр өрісі болады. Бұл өріс әрбір уақыт мезеттерінде өткізгіштердегі ток өткендегідей, әрі оған тең ток өткендей магнит өрісін тудырады.Айнымалы электр өрісі мен одан пайда болған магнит өрісінің арасындағы өзара мөлшерлік байланысты анықтау үшін Максвелл ығысу тогы деген ұғым енгізді. Токтар сияқты кеңістікте магнит өрісін тудырғандықтан айнымалы электр өрісін Максвелл ығысу тогы деп атады.Ал өткізгіштік тогы мен ығысу тогы тең болуы керек, яғни _{өт ығ} , онда олардың тығыздықтары да өзара тең болады деп алуымыз керек _{өт ығ} .

Конденсатордың астарына жақын жердегі өткізгіштік токтың тығыздығы

_өт , (14.5)

мұндағы -зарядтың беттік тығыздығы, -астардың ауданы.Олай болса _өт

Электр өрісін электр ығысу векторымен сипаттауға болады. Электростатикадан конденсатордың астарындағы зарядтың беттік тығыздығы электр ығысуымен байланысты белгілі:

осыны ескерсек, онда ығысу тогының тығыздығы

_өт (14.6)

Дербес туынды белгісі, магнит өрісі тек электр ығысуының уақыт бойынша өзгеру жылдамдығымен анықталатынын көрсетеді.Мұндағы _ығ және _өт векторлары векторымен әрқашан бағыттары бағыттас болатынын көрсетуге болады, сондықтан (14.6) теңдігін векторлық түрде жазуға болады:

_ығ (14.7)

Өткізгіштік және ығысу токтарын сәйкесінше былай көрсетейік _{өт өт} және _{ығ ығ}

Магнит өрістерін есептегенде толық токты алу қажет

_{өт ығ} ( _{өт ығ} ) ( _өт + ) (14.8)

енді

_ығ

екенін ескеріп, мұндағы _ығ -электр ығысуының бет арқылы өтетін элементар ағыны, онда:

_ығ (14.9)

Ығысу тогы және толық ток түсінігі айнымалы ток тізбегінің әрқашанда тұйық екендігін айқындайды: өткізгішітік ток өткізгіштің ұштарында үзіліп қалады, ал диэлектриктерде және вакуумда өткізгіштердің ұштарын ығысу тогы өткізгіштік тогын жалғайды.Егер толық токты мына түрде жазсақ:

_{өт ығ} ( _{өт ығ} ) (14.10)

онда магнит өрісінің векторының циркуляциясы туралытеормеаны былай жазамыз:

_{өт ығ өт} + (14.11)

немесе өткізгіштік тогының және ығысу тоғының тығыздығы арқылы векторлық түрде төмендегідейкөрсетуге болады:

( _{өт ығ} ) (14.12)

Бұл Максвелдің екінші теңдеуі электр өрісінің қандай өзгерісі болмасын, ол құйынды магнит өрісін тудыратынын тағайындайды. Өткізгіштік тогы жоқ болғанда немесе бұл токты ескермеуге болатын кезде (мысалға кондесатордың астарларының арасында) толық ток заңын былай жазуға болады

_ығ

Максвелл электр және магнит өрістерінің біріккен теориясын жасап сол кездегі тәжірибеден алынған құбылыстарды ғана түсіндіріп қоймай алдын ала жаңа пікірлерді де айтты, атап айтқанда мысалы электромагниттік толқындардың бар екенін. Максвелл жарықтың электромагниттік теориясын жасады. Максвелдің бірінші тендеуі электр өрісінің көзі тек қана зарядтар ғана емес айнымалы магнит өрісі де электр өрісінің көзі бола алатынын нақтылайды. Оның математикалық өрнегінің түрі:

. (14.13)

Максвелдің екінші теңдеуі - векторының циркуляциясы туралы теореманы жалпылау. Бұл теңдеу магнит өрісін электр тогы (қозғалыстағы заряд) не айнымалы электр өрісі (ығысу тогы) тудыратынын көрсетеді, яғни

І_өт + (14.14)

Максвеллдің үшінші теңдеуі – Гаусс теоремасының жалпыламасы

(14.15)

Бұл теңдеу векторының сызықтары зарядтарда басталып зарядтарда аяқталатынын ерекше айқын көрсетеді. Максвеллдің төртінші теңдеуі

(14.16)

Бұл теңдеу векторының сызықтарының тұйық екенін және магнит зарядтарының жоқ екенің нақтылайды. Электромагниттік өрістерді (санағанда) есептегенде жоғарыда айтылған теңдеулерге мына және , және шамалардың арасындағы байланыстарды пайдалану керек.

(14.17)

(14.18)

және Ом заңының өткізгіштік тобының тығыздығы ұшін өрнегін де пайдалану керек.

(14.19)

мұндағы m мен e – электр және магнит тұрақтылары, m₀ мен e₀ - диэлектриктік және магниттік өтімділік, - зарядтардың меншікті электр өткізгіштігі.

Электрмагниттік өріс кеңістікте тарала отырып, энергия тасымалдайды. Электр өрісі энергиясының тығыздығы

w_E = ,

ал магнит өрісінің энергия тығыздығы

w_H=

формулаларымен анықталады. Онда электромагниттік өріс энергиясының тығыздығы олардың қосындысына тең:

w= . (14.19)

Вакуумде таралған электромагниттік толқын үшін Умов-Пойнтинг векторын S деп белгілесек, ол мынадай өрнекпен анықталады:

Негізгі әдебиет: [1]; [2]; [3].

Қосымша әдебиет: [2]; [3].

Бақылау сұрақтары:

1. Ығысу тогы. Максвелл теңдеулерінің жүйесі.

2. Электромагниттік энергиясының электр бағыттаушы сымдардың бойымен қозғалысы.