Визначення умов керованості

Лінійний динамічний об’єкт називають керованим якщо існує реалізуєма послідовність керуючих впливів , яка дозволяє перевести об’єкт із довільного початкового стану у будь-який кінцевий стан на кінцевому інтервалі часу, який дорівнює тактів квантування.

Розглянемо дискретну модель процесу

(3.61)

Тому що

, (3.62)

то для переводу із довільного початкового стану у будь-який кінцевий стан за кінцевий інтервал часу, який дорівнює тактів квантування, необхідно щоб керування знаходилось у просторі лінійних незалежних векторів , тому що будь-який вектор евклідового простору повинен бути представлений лінійною комбінацією векторів та задовольняти матриці керувань .

Так для

відкіля

тобто .

що дає

Таким чином

,

де

.

З останнього рівняння можна визначити вектор керувань

,

де

(3.63)

є матрицею керованості.

Отже, для того щоб система була керованою необхідно щоб виконувалась умова

(3.64)

Фізично це означає, що керуючий вплив викликає зміну у часі всіх координат стану об’єкта.

Таким чином, система називається повністю керованою по стану, якщо для довільного початкового моменту часу (такту) існує послідовність необмеженого керування , , яка переводить початковий стан у деякий кінцевий стан за кінцеве число тактів.

Система називається керованою по виходу якщо для довільного початкового часу (такту) існує послідовність необмеженого керування , , таких, при яких деяке кінцеве значення вихідної змінної може бути досягнуте за кінцевий час.

Система називається абсолютно керованою (по стану або по виходу), якщо вона є повністю керованою (по стану або по виходу) для всіх , та всіх .

Для стаціонарної системи

Умовами повної керованості по стану є умови при яких ранг матриці дорівнює або умови невиродженості матриці , де

(3.65)

Розглянемо систему, математична модель якої має вигляд

(3.66)

Відомо, що при нульових початкових умовах розв’язок

існує коли має місце незалежність строк матриці .

Ця умова перевіряється критерієм Грамма:

Лінійна система є повністю керованою по стану тільки у тому випадку, коли матриця Грамма є не виродженою

(3.67)

Лінійна стаціонарна система повністю керована по стану тільки у тому випадку якщо строки матриці (7.7) є лінійно незалежними.

Лінійна система є повністю керованою по виходу тільки у тому випадку. якщо матриця має ранг , де

, (3.68)

a є розміром вектора .

П 3.22

Для умов задачі П 3.21 визначити умови керованості

Умови задовольняються