Лінійні перетворення випадкових сигналів

Хай здобуто перетворенням стаціонарного випадкового процесу оператором .

Загальна постановка задачі перетворення випадкового процесу лінійними операторами формулюється відносно законів розподілу імовірностей таким чином:

Задано закон розподілу імовірностей випадкового процесу , який поступає на вхід відомого оператора .

Необхідно визначити закон сумісного розподілу імовірностей випадкових процесів , .

Однак у практиці ТАУ задача у такій постановці зустрічається рідко із-за двоякості її розв’язку або прикладної доцільності. Для задоволення багатьох цілей теорії та практики автоматичного управління, постановку задачі управління випадковими процесами достатньо розглядати відносно математичних очікувань, кореляційних функцій або спектральних цільностей.

У такої постановки вона формулюється таким чином:

Задано лінійний оператор (комплексний коефіцієнт передачі або імпульсна передаточна функція , та характеристики , , випадкового стаціонарного процесу , який поступає на вхід оператора . Необхідно визначити характеристики , , вихідного процесу , а також характеристики , , , взаємозв`язку процесів та .

Хай процес можна визначити , де - відхилення процесу . Тоді процес з урахуванням лінійності

.

Якщо обробити ліву та праву частини цього рівняння оператором математичного очікування, то з урахуванням лінійності та здобудемо , тому що . (2.295)

Таким чином, математичне очікування вихідного процесу дорівнює результату обробки оператором . Цей результат справедливий і для нестаціонарного процесу .

Якщо розглядати відхилення процесу як , то

Тобто кореляційна функція вихідного процесу дорівнює кореляційній функції , яка обробляється послідовно операторами та .

Розглянемо лінійну стаціонарну систему з комплексною передаточною функцією або імпульсною перехідною функцією .

Рис. 2.210 До перетворення випадкового процесу лінійним оператором

Вихідний сигнал є випадковим сигналом з відомими характеристиками та , а треба визначити статистичні характеристики вихідного сигналу.

Відомо, що , а функція часу може бути визначена через та імпульсну перехідну функцію . Запишемо значення функції для перерізів та із відповідними аргументами та

Знайдемо взаємозв`язок цих значень випадкового процесу , для чого визначимо математичне очікування як

де .

Тому що то

Якщо помножити на , та взяти інтеграл у межах від до , то здобудемо спектральну щільність сигналу на вході. Щоб це можна було зробити, треба у вираз додати множники та , тобто

Кореляційна функція вихідного сигналу визначається як

Також справедливі співвідношення

(2.296)

Хай випадковий сигнал з , тобто білий шум, проходити через фільтр низьких частот з полосою проходження .

Тоді

Рис. 2.211 Фільтр низьких частот з полосою проходження .