Нелінійні перетворення випадкових сигналів

Якщо при розгляданнi проходження випадкового сигналу повз лiнiйну ланку застосувалися методи усереднення за часом (кореляцiйнi функцiї та спектральнi щільності), то для нелiнiйних ланок основою дослiдження є метод усереднення за множиною (закони розподiлу).

Розглянемо безiнерцiйну нелiнiйну ланку з монотонно зростаючою характеристикою ( Рис.2.184 ) , на вхiд якої поступає випадковий сигнал , де - математичне очікування, - центрована випадкова складова, у виглядi ансамблю реалiзацiй, який характеризується у момент , щільністю розподiлу .

Рис. 2.2134 Проходження випадкового сигналу через нелінійну ланку

Коли рiвень завад малий та не виходить за межи лiнiйних дiлянок нелiнiйностi з сталими значеннями похiдних, вихiдний сигнал можна визначити як

Але з пiдвищенням рiвня завад, коли вхiдний сигнал виходить за межи лiнiйних дiлянок, середнє значення вихiдного сигналу буде зменшуватися та одночасно змiнюється спектральний склад вихiдного випадкового процесу. При цьому щільність розподiлу сигналу може бути знайдено з умови рiвностi iмовiрностей сигналу на входi до деякої областi та сигналу на виходi до областi , де . Тодi , та .

Цей вираз дає можливiсть по вiдомим характеристикам та знайти залежнiсть . Але коли нелiнiйна характеристика неоднозначна, то визначення щільності розподiлу сигналу на виходi нелiнiйностi значно ускладнюється, тому що щільність розподiлу буде вже залежить не тiльки вiд щільності розподiлу сигналу на входi, але i вiд імовірнісних характеристик його похiдної за часом.

Отже, для випадкового сигналу треба знати щільність розподiлу самого сигналу, його похiдної та двомірну щільність розподiлу . Якщо вiдомо математичне очікування (момент першого порядку) на входi нелiнiйної ланки та на виходi то таким чином можна визначити перетворення моментiв першого порядку нелiнiйною ланкою.

Так для сигналу з нормальним розподiлом закон перетворення моменту першого порядку буде залежати не тільки вiд виду та , але i вiд

Рис. 2.215 Перетворення статистичних характеристик нелінійною ланкою

Момент другого порядку на виходi та входi нелiнiйної ланки визначається таким чином

Дисперсія сигналiв на виходi та входi визначається через моменти першого та другого порядкiв

За нормальним розподiлом вхiдного сигналу закон перетворення моменту другого порядку залежить вiд та