Тому що рiшення цього рiвняння добувається у виглядi

то для того, щоб спектр матрицi розташовувався у колi одиничного радiусу необхiдно та достатньо, щоб виконувались умови

(2.293)

Цi умови виконуються лише при абсолютному зменшенню елементiв матрицi .

Для пiдвищення швидкостi обчислень при зведеннi матрицi у степiнь, рекомендується цю операцiю виконувати таким чином, щоб кожна наступна матриця була квадратом попередньої, тобто за законом . Тодi k-а ступiнь матрицi добувається через крокiв (так 128-а ступiнь матрицi здобувається через сiм крокiв, а 1024-а- через десять кроків).Вивчення степенiв матрицi повинно використовуватися доки, поки не буде виконуватися нерiвнiсть

де - елементи матрицi .

Бiльш економiчна оцiнка може бути добута на основi розглядання матричних норм та слiдiв. При цьому можуть обчислюватися слiдуючи норми

, , , (2.294)

Для того, щоб система була асимптотично стiйкою та при , достатньо, щоб будь-яка iз норм матрицi була менше одиницi . Якщо ця умова не виконується, то iз цього не слiдує, що досліджувана точка простору параметрiв системи є нестiйкою. В цьому випадку питання про стiйкiсть повинно бути додатково дослiджено шляхом перевiрки норм наступних степенiв матрицi .

Хай

Тодi

Отже, система стiйка.

Оцiнка властивих чисел матрицi може виконуватися за її слiдом, тому що слiд наступних степенiв матрицi представляє собою суму всiх властивих чисел , узятих у тiй же степенi, що i матриця , тобто .Якщо система стiйка та , то слiд також прямує до нулю при . При цьому достатнiм критерiєм нестiйкостi є спiввiдношення , яке показує, що серед є хоча б одне для якого виконуються умови , а це позначає, що система нестiйка. Якщо ж спiввiдношення не виконується, то треба виконувати процедуру зведення матрицi у степiнь , та перевiряти слiд вiдповiдних матриц на кожному кросі перевiряючи умови стiйкостi.

П 2.84

Визначити стійкість неперервної системи керування, яка має передаточну функцію

1. Складається диференційне рівняння

2 Складаються рівняння змінних стану та визначається матриця А

3. Визначається матриця В

4. Визначаються норми матриці В

5. Висновок: норма матриці зменшується при збільшення ступені k. Якщо норма стає менше одиниці, та система стійка

П 2.85

Визначити стійкість дискретної системи керування по умовам задачі П 2.80

3 Визначається Евклідова норма матриці А

4 Висновок: Евклідова норма матриці збігається до нуля при збільшенні ступені k матриці – дискретна система керування стійка.