Комплексна функція передачі

Відомо, що часовий сигнал може бути визначений у частотній області у вигляді розкладу у неперервний гармонічний спектр за допомогою інтеграла Фур`є. Так одинична ступінчата функція може бути визначена у вигляді , де кожна із елементарних гармонік цієї функції має вигляд .

Чому ж часовий сигнал, який проходить через динамічну систему з передаточною функцією , змінює свою форму на виході системи?

Рис. 2.104 Реакція системи на одиничний стрибок

Очевидно, що система по різному реагує на проходження кожної елементарної гармоніки, змінює тим самим спектр вихідного сигналу, і, отже, його часову форму.

Хай на вхід лінійної системи з передаточною функцією подано гармонічний сигнал

(2.178)

Будемо вважати, що сигнал прикладено нескінченно давно та до моменту визначення перехідні процеси закінчені, а система виконує змушений сталий рух.

(2.179)

Якщо рівняння зв`язку задано у вигляді , то підставив у нього вирази (5.1), (5.2) вхідного та вихідного сигналів із урахуванням правил диференціювання експоненціальної функції отримаємо , звідки

Функція – називається комплексною функцією передачі системи або комплексною передаточною функцією системи.

- визначає амплітудно-фазову характеристику АФЧХ.

- визначає амплітудно-частотну характеристику АЧХ.

- визначає фазочастотну характеристику ФЧХ.

Тому що вираз є комплексним, то для нього справедливо співвідношення:

, .

Отже, при зміні від 0 до буде змінюватися як модуль , так і аргумент вектору .

Крива, яку при цьому описує кінець вектору , називається годографом амплітудно-фазо-частотної характеристики.

Рис. 2.105 Годограф амплітудно-фазо-частотної характеристики

Хай передаточна функція системи визначена як

;

З підстановкою будемо мати

де

Якщо , то

де

Ці форми дають змогу автоматизувати обчислення амплітудно-частотних характеристик.

Хай є передаточна функція умовно-розімкненої системи, тобто .

При цьому передаточна функція замкненої системи може бути записана як ,а комплексна функція передачі обчислена за допомогою формули

Отже, елементи частотної характеристики замкненої системи можуть бути обчислені по елементах частотної характеристики умовно-розімкненої системи.

Якщо визначити , то

П 2.39

Для визначити , , , ,

Рис. 2.106 АФЧХ аперіодичної ланки

Увага!

При використанні формули при належить урахувати характер зміни функції при переході через лінії 90^о, 180^о, тощо.