Визначимо зв'язок часових та частотних характеристик системи. Відомо, що

Цей інтеграл обчислюється вздовж прямої, яка є паралельною уявній осі та яка відстоїть від неї на відстані , де величина береться так, щоб всі полюси функції були розміщені лівіше цієї прямої. Якщо всі полюси розміщені у лівій півплощині, то можна прийняти .

Тоді з урахуванням

тобто є зворотним перетворенням Фур'є, яке визначає функцію на інтервалі якщо інтеграл абсолютно збігається.

Частотні характеристики дозволяють знайти реакцію системи на гармонічний вхідний вплив. При цьому стале значення вихідної координати буде також гармонічним

Нехай на систем у діє одинична ступінчата функція. Вона може бути розкладена у неперервний гармонічний спектр . Кожна із елементарних гармонік цієї функції має вигляд . Тоді на виході системи будемо мати

Повне значення перехідної функції дорівнює сумі усіх гармонік нескінченного ряду та визначається інтегралом

(2.181)

Для того, щоб можна було скористатися цією формулою при розрахунках представимо перехідну функцію не через комплексну передаточну функцію , а через її дійсну cкладову. Враховуючи, що визначимо

Тому що є дійсною функцією, то мінлива частина повинна дорівнювати нулю. Tому

Тому що, при , тобто

Tоді

Таким чином

(2.182)

Це основна робоча формула, яка встановлює зв'язок між часовими та частотними характеристиками. У формулі інтегрування ведеться по параметру , а величина є сталою. Це позначає, що можна обчислити значення перехідної функції для даного фіксованого моменту часу.

2.6.4 Частотні характеристики типових ланок

П 2.40

Побудувати частотну характеристику ідеальної інтегруючої ланки

Передаточна функція ідеальної інтегруючої ланки

П 2.41

Аперіодична ланка та її характеристики

1. Часові характеристики

1.1 Імпульсна перехідна характеристика

1.2 Перехідна характеристика

1. Частотні характеристики

2.1 Амплітудна - фазо – частотна характеристика

2.2 Амплітудна та фазо-частотна логарифмічна характеристика

П 2.42

Реальна диференцююча ланка

1. Часові характеристики

Перехідна та імпульсна (вагова) характеристики

2. Частотні характеристики

Амплітудно – фазо – частотна характеристика

Амплітудна та фазо-частотна логарифмічна характеристика

П 2.43

Коливальна ланка другого порядку

1. Часові характеристики

1.1 Перехідна та імпульсна (вагова) характеристики

2 Частотні характеристики

2.1 Амплітудно – фазо – частотна характеристика

Амплітудна та фазо-частотна логарифмічна характеристика

П 2.44

Побудувати частотні характеристики для системи

1. Передаточна функція замкнутої системи

2. Перехідні процеси

3. Частотні характеристики

1. Визначаються дійсні та мінливі частини для АФЧХ

2. Визначається ФЧХ

2.6.5 Частотнi характеристики дискретних систем

Вiдомо, що перехід вiд перетворення Лапласу до частотних характеристик виконується шляхом замiни ; аналогiчно у областi змiнної виконується пiдстановка .

Однак цифровi системи управлiння мають деякi специфічні властивостi якi пов'язанi з методами дискретних перетворень. Якщо реакцiя лiнiйної неперервної системи на гармонiчний вхiдний сигнал має ту ж саму частоту, а у нелiнiйних системах з'являються субгармонiки кратнi основної частотi, то у дискретних системах квантуючий пристрiй дiє як генератор гармонiк, i тому реакцiя системи на гармонiчний вплив має i вищi гармонiки, що повинно ускладнювати процес побудови частотних характеристик.

Можна визначити наступні засоби побудови частотних характеристик.

1. По дискретній передаточній функцiї з подальшою замiною .

2. По ваговій функцiї приведеної неперервної частини дискретної системи.

3. По частотній характеристики приведеної неперервної частини на основi спiввiдношення

,

4. З використанням w-перетворення на основi псевдочастоти.

5. По векторно-матричній моделi.

1. Хай передаточна функцiя задана у виглядi

При цьому, шляхом замiни , можна перейти до частотних характеристик:

П 2.45

Визначити частотну характеристику ланки

Рис. 2.110 АФЧХ дискретної ланки

2. Тому що дискретна передаточна функцiя може бути представлена у виглядi то при замiнi , здобудемо

У силу того, що то двом еквівалентним частотам, тобто частотам, якi розрізнюються на цiле число частот повторення, вiдповiдає одна i та ж точка на одиночному колi (Рис. 2.111).

Рис. 2.111 АФЧХ для

Таким чином частотна характеристика для дiапазону частот буде такого ж як i для дiапазону що дозволяє будувати частотну характеристику для будь-якого iнтервалу значень w довжиною Звичайно вибирається основний iнтервал у межах . Величини визначаються безпосередньо по заданої iмпульсної характеристики системи як її коефiцiєнти , а амплітудно-фазо-частотнахарактеристика визначається як (Рис.2.112).

Рис. 2.112 До побудови на основі імпульсної характеристики

При цьому вiдрiзки відкладаються пiд кутом до дiйсної осi, що дає можливiсть побудувати замикальну многокутника, яка є вектором амплiтудно-частотної характеристики для обчислюванної частоти. Тому що для стiйких систем вагова функцiя є спадною до нуля, то можна практично використати обмежений ряд вагових коефiцiєнтiв.

3. Якщо задано частотну характеристику неперервної частини системи, то для побудови частотної характеристики можна скористатися спiввiдношенням

При цьому для побудови необхiдно для заданого перiоду квантування Т та передаточної функції імпульсного елемента та передаточної функції неперервної частини скласти приведену передаточну функцію. Так при зостасуванні фіксатора нульового порядку

із заміною .

Рис. 2.113 До побудови на основі

Тому що з пiдвищенням модуль частотної характеристики швидко збiгається до нулю, то при побудовi можна обмежитись кінцевим числом складових, тобто

Отже, побудову можна виконати на основi змiщених векторiв, тобто

4. Вiдомо, що у зв’язку iз застосуванням -перетворення основна смуга -площини у межах частот вiдображається у коло одиничного радiусу на комплексної площинi . Із теорiї перетворень вiдомо, що коло одиничного радiусу може бути розгорнуто у площину на основi бiлiнiйного перетворення, яке використовує замiну комплексної змiнної на

Якщо подальше використати підстановку , то при цьому здобудемо

де визначає вiдносну псевдочастоту. При цьому коло одиничного радiусу у -площинi перетворюється у уявну вiсь -площини.

Замiсть вiдносної псевдочастоти можна ввести пропорцiйну величину :

яка називається абсолютною псевдочастотою.

Рис. 2.114 До поняття бiлiнiйного перетворення

При такій замiнi лiвій напiвплощині у межах вiдповiдає уся лiва півплощина комплексної змiнної , а перехід вiд -зображення виконується шляхом замiни

Якщо аргумент функції тангенсу менше одиниці, то можна вважати що

і у цьому дiапазонi виконуються умови .

Отже, якщо виконуються умови то можна псевдочастоту замiнювати дiйсною частиною, що приводить до значного спрощення обчислень. При цьому у межах

псевдочастота змiнюється у дiапазонi а комплексна величина перемiщується по уявнiй осi вiд до

Таким чином, у результатi підстановки з подальшою замiною

можуть бути здобутi частотнi передаточнi функцiї

Так для частотна характеристика визначається як

Рис. 2.115 АФЧХ ланки наоснові абсолютної псевдо частоти

П 2.46

Побудова частотних характеристик дискретної системи

Передаточна функція неперервної частини

1. Визначається передаточна функція у Z-формі

1. Визначається перехідна функція та її перша різниця

1. Будується АФЧХ дискретної системи

4. Для перевірки будується АФЧХ по Z-формі з підстановкою

АФЧХ співпадають.