Тому що рiшення дискретного рiвняння вiдшукується у виглядi , де вiльна складова, яка є рiшенням однорiдного рівняння

та дорiвнює , де є коренями характеристичного рівняння тобто , то X(k) стiйке, якщо для будь-яких коренiв виконуються умови

(2.160)

При цьому, якщо є дiйсними та додатними, то процес згасає монотонно; якщо вiд'ємнi або комплексно-сполученi, то процес буде згасаючим коливальним, а процес згасає тим швидше, чим менша дiйсна частина кореня.

У випадку процес згасає за один крок (Рис.2.93). Таким чином для дослiдження стiйкостi дискретної системи треба встановити факт Ця умова вважається необхiдною та достатньою.

Хай вiльний рух системи описується рiвнянням

Побудуємо квадратичну форму

(2.161)

де N-квадратична симетрична матриця та визначимо першу рiзницю

де є матричним рiвнянням Ляпунова. (2.162)

Рис.2.93 Вплив полюса на вигляд перехідного процесу

Вiдомо, що якщо вiдповiднi значення матрицi задовольняють умови то симетрична матриця однозначно визначається iз матричного рiвняння Ляпунова за симетричною матрицею .

Тому що для стійкої системи , то спiввiдношення (2.149) повинно виконуватися, а отже додатно-визначенiй матрицi вiдповiдає єдина симетрична матриця , яка буде також додатно-визначеною.

Отже, квадратична форма є функцiєю Ляпунова для граничної системи та відповідає умовам

при

при

Областю визначення цiєї функцiї буде весь простiр стану

2.5.10 Алгебраїчні критерії стійкості дискретних систем

Для використання алгебраїчного критерiю Гурвиця для дослідження стійкості дискретних систем необхiдно вiдобразити одиничне коло, яке утримує коренi характеристичного рiвняння

(2.163)

замкненої системи за допомогою дрiбно-лiнiйного перетворення на лiву півплощину комплексної змiнної . При цьому коло одиничного радiусу у площинi перетворюється у уявну вiсь площини , яка є межею областi стiйкостi.

Отже, многочлен записується у виглядi

(2.164)

i, пiсля зведення коефiцiєнтiв при однакових степенях w, зводиться до вигляду А(w), до якого застосовується критерiй Гурвiця з всiма правилами неперервних систем.

Якщо записується у виглядi

(2.165)

то для використання найбiльш поширеного алгебраїчного критерію - критерію Гурвiця необхiдно по коефiцiєнтам многочлена скласти визначник Гурвiця, який записується у формi

Правило його складання просте та легко запам'ятовується:

за порядком, починаючи з , виписуються по дiагоналi усі коефiцiєнти, а потiм заповнюються строки у порядку збiльшення iндексiв у право та зменшення - влiво. Коефiцiєнти з iндексами, якi перевищують або менше нулю, замiнюються нулями.

Для виконання необхiдних умов стiйкостi повиннi виконуватися умови:

всi коефiцiєнти а_i повиннi бути бiльше нулю . Тодi достатнiми умовами стiйкостi тобто факт визначення, що коренi многочлена належать лівій півплощині, тобто , є умови

(2.166)

тобто всi визначники Гурвiця повиннi бути додатними числами.

Тому що визначник , а , то очевидно, що знак визначника визначається знаком визначника .

При цьому можна обмежитись умовами

.

П 2.35

Визначити стійкість дискретної системи, якщо задана передаточна функція та її параметри

1. Визначається передаточна функція замкнутої системи

Визначається характеристичне рівняння та виконується перехід до W-перетворення

Визначаються визначники Гурвіця

Висновок: Всі визначники більше нуля. Система стійка.

2.5.11 Критерій Шур-Кона.

При використаннi цього критерiю коефiцiєнти характеристичного полiному

групуються вiдповiдним чином у пiдматрицi А₁₁ та А₂₁.

(2.167)

Далi формується блочна матриця порядку 2k

(2.168)

де - транспонованi матрицi вiдповiдно до та .

Змiнюючи k вiд 1 до n, знаходять знаки визначникiв та перевiряють чергування знакiв

(2.169)

Якщо умови виконуються, то всi коренi полiнома лежать у серединi кола одиничного радiусу. Таким чином, якщо всi то немає , а число нулiв у серединi кола з дорiвнює числу змiн знакiв у послідовності

Хай

Для системи третього порядку повиннi виконуватися умови