Дискретні рівняння систем керування та методи їх розв’язання

Хай задана неперервна функція та інтервал квантування T. Тому що змінні, які описують поведінку автоматичних систем, є функціями часу, то у дискретних системах ці змінні розглядаються як послідовність дійсних чисел

Числова послідовність, яка є функцією дискретного елементу та яка з'являється у результаті вибірки значень функції у точках , називається решітчастою функцією або дискретною функцією , тобто є послідовністю дискрет (Рис.2.77).

(2.126)

Кожній неперервній функції відповідає єдина дискретна функція , якщо задано період вибірки .

Рис.2.77 Утворення дискретної послідовності

Однак, за решітчастою функцією неможливо визначити неперервну функцію без додаткових відомостей про її зміну у інтервалах між двома дискретними моментами часу. Так, одна й та сама дискретна функція відповідає двом (гранично безлічі) функціям часу та

Тому з ціллю розширення можливостей використання дискретних функцій вводяться у розгляд зміщені дискретні функції , де - величина зміщення усередині інтервалу дискретності, тобто

. (2.127)

Якщо ввести нормований час , то дискретна функція записується як , а її аргументом є елементи цілочислового ряду. При цьому , де визначає параметр зміщення, а сама дискретна функція називається зміщеною дискретною функцією

(2.128)

При нормованому часі зміщена дискретна функція записується у вигляді .

П 2.20

Визначити інтервал дискретності , при якому ступінчатий опис функції по дискретним точкам не приведе до похибки не більше ніж 5% початкового значення.

• Найбільша крутизна заданої функції спостерігається у точці

Початкове значення . На першому інтервалі .

Відкіля

П 2.21

Для експоненціальної функції визначити інтервал дискретності , при якому лінійна інтерполяція значень функції у середині проміжків між дискретними точками не перевищує 1% початкового значення.

• На першому інтервалі для середини відрізку дає , тоді як фактичне значення для буде . Отже,

П 2.22

Для експоненціальної функції визначити - перетворення

Тому що , а перетворення Лапласа

, то з урахуванням . Отже,

.

Для та .

П 2.23

Для при знайти зворотне - перетворення

Для цього треба розкласти по від’ємним степеням

.

Для заданого закону зміни дискретні функції у часі введемо у розгляд поняття різниць та зсувів, які діють під дискретною функцією.

Швидкість зміни дискретної функції ) визначається її першою різницею, яка грає таку ж роль як і перша похідна неперервної функції При цьому може бути визначена перша різниця як різниця між послідуючим та поточним значенням (Рис.2.78).

, (2.129)

або зворотна різниця як різниця між поточним та попереднім значенням

. (2.130)

Рис.2.78

Пряма різниця визначається у моменти часу по значенню дискретної функції, яке буде при , зворотна - по значенням, які були у момент часу .

Відповідно, аналогом другої похідної є друга різниця (перша різниця перших різниць)

.

Для обчислення n -ої різниці використовуються співвідношення

(2.131)

Розглянемо питання відновлення неперервного сигналу із послідовності імпульсів з амплітудою у момент часу . Цей процес можна розглядати як процес екстраполяції, тому що неперервний сигнал повинен бути відтворений на підставі інформації, яка була доступна тільки у попередні моменти часу.

Для цього розкладемо неперервну функцію у ряд на інтервалі між двома моментами вибірки та , тобто

де при ,

Для того, щоб обчислити коефіцієнти ряду, похідні функції повинні бути одержані у моменти вибірки, тобто похідні повинні обчислюватися по значенням Простий вираз, який включає тільки два дискретних значення дає оцінку першої похідної у моменти у вигляді

(2.132)

Апроксимоване значення другої похідної дає

(2.133)

Таким чином, чим вище похідна, тим більше число потрібних попередніх вибірок.

Так для апроксимації треба вибірка.

Отже, описаний вище екстраполюючий пристрій складається із набору часових затримок на період , число яких залежить від точності оцінки функції часу

Рис. 2.79

Пристрій, у якому реалізовано тільки член для інтервалу часу , називається екстраполятором нульового порядку, бо поліном, який використовується для цього, має нульовий порядок. Подібний пристрій також широко відомий як фіксатор нульового порядку, оскільки він фіксує значення попередньої вибірки протягом одного періоду квантування до послідуючої вибірки. Пристрій, який реалізує перші два члени розкладу, називається фіксатором першого порядку ( Рис. 2.79 ).

Запроваджуємо поняття оператору зсуву, який визначається такою залежністю:

прямий зсув

зворотній зсув (2.134)

При цьому, у силу того що

оператор різниці можна зобразити через оператор зсуву та навпаки

(2.135)

Відповідно,

,

.

Отже, аналогічно диференційним рівнянням можна побудувати деякий оператор , який буде зображений через відповідні різниці і який деякій вхідній послідовності буде ставити відповідну вихідну послідовність , тобто

називається різницевим рівнянням (дискретним рівнянням),яке зв'язує між собою шукану дискретну функцію з її різницями із різницями дискретної функції

Якщо оператор є лінійним, то і відповідне дискретне рівняння є лінійним.

Якщо у дискретне рівняння аргумент не входить явно, то відповідне рівняння є стаціонарним.

Приможливості розподілу змінних лінійне рівняння зводиться до вигляду

, (2.136)

де оператори та є операторами відносно операції здобуття різниць, тобто

Дискретне рівняння може бути записано і через оператор зсуву, якщо виразити

але при цьому коефіцієнт поліномів та не будуть еквівалентні.

Дійсно, хай дискретне рівняння має вигляд

Якщо використати підстановку ,то

,

і після групування коефіцієнтів при однакових степенях одержимо

, (2.137)

де

Так, при

Використовуючи заміну ,здобудемо

Використовуючи рівняння відносно оператору зсуву можна здобути рішення через рекурентне співвідношення

(2.138)

яке дозволяє визначити послідовність ,..., якщо визначені початкові умови та значенням дискретної функції Алгоритм рішення легко реалізується на ЕОМ.

Хай задано дискретне рівняння та визначені i .

Отже,

Рис. 2.80

У загальному випадку рішення дискретного рівняння складається з вільного та вимушеного руху

, (2.139)

де визначає вільний рух, як рішення однорідного рівняння

( 2.140)

а визначає вимушений рух, як окреме рішення, яке залежить від виду вхідного сигналу.

Вільне рішення здобувається у вигляді (2.141)

де - корені характеристичного рівняння

Аналіз вільного руху показує, що для стійкого руху необхідно і достатньо, щоб використовувались умови , (2.141),тобто, властиві значення характеристичного поліному стійкого руху повинні належати колу одиничного радіусу ( Рис.2.81).

Рис. 2.81

Очевидно, що коли дійсні, то представляє собою монотонний процес, коли - комплексні, то процес буде коливальним, якщо , то процес буде встановлюватись за один крок.

2.5.2 Складання дискретних рівнянь лінійних систем

Методику складання дискретних рівнянь розглянемо відносно умови функціонування дискретних систем автоматичного управління. Замкнення системи виконується тільки у моменти роботи ідеального імпульсного моменту, тобто у моменти квантування , а у проміжках між моментами квантування система працює як розімкнена при сталому впливі - сигналі, який зберігається на виході формуючої частини імпульсного елементу.

Хай у дискретній системі імпульсний елемент генерує послідовності імпульсів прямокутної форми з періодом та тривалістю , а лінійна частина описується оператором ( Рис.2.82 ).

Рис.2.82

Вихідний процес , який протікає усередині будь-якого інтервалу дискретності

має вигляд

(2.142)

де .

Кінцеве значення на -тому інтервалі, а отже і початкове значення на інтервалі приймає вигляд

Якщо неперервна частина дискретної системи має -тий порядок, то для визначення рішення необхідно розглядати процес у n попередніх інтервалах дискретності, що зведе рішення до вигляду

(2.143)

Хай лінійна частина дискретної системи має передаточну функцію ,

а імпульсний елемент генерує послідовність імпульсів прямокутної форми з періодом та скважністю . Визначимо рішення диференційного рівняння системи у межах одного циклу квантування , який складається із двох рішень на інтервалах та , тобто як рішення рівнянь та .

Рішення на першому інтервалі буде

Постійна інтегрування отримується з урахуванням початкових умов для моменту .

,

Отже, .

На другому інтервалі

Тому що значення на початку інтервалу, тобто при дорівнює значенню на кінці першого інтервалу, то

Отже,

При одержуємо

З умови замкнення системи маємо а якщо система замикається одиничним зворотнім зв'язком, то

Отже,

що після перетворень дає

Якщо , то

Тому що , то при , , a .Із характеристичне рівняння приймає вигляд .Отже,

При , тобто . Таким чином

Хай , тоді .

Якщо , то процес встановлюється за один крок, система стійка і має найменший час перехідного процесу .

1) При, , що дає коливальний перехідний процес.

2) При процес буде монотонним.

3) При система на межі стійкості.

4) При система стає нестійкою.

Рис. 2.83 Вплив кореня на вигляд перехідних процесів