Перетворення Фур’є

Зображення по Лапласу є функція, яка задана на усієї площинікомплексного аргументу , завиключенням деяких особливихточок.Якщо покласти , тобто . То зображення по Лапласу переходить у зображення по Фур’є сигналу .

(1.47)

Якщо представити ,то

Відповідно (1.48)

По формулі Ейлера можна визначити

Тоді ,

тому що друга частина є непарною функцією від ,то

Тому що реальні сигнали при дорівнюють нулю,то права частина дорівнює нулю при від’ємних значеннях . Отже, поклавши ,будемо мати

(1.49)

Позначимо модуль зображення , a – аргумент ,

(1.50)

Таким чином інтеграл Фур’є представляє сигнал як суму нескінченного числа елементарних гармонічних коливань. Множина таких частот утворює спектр сигналу.

Запишемо інтеграл Фур’є у комплексному вигляді

де виконує роль коефіцієнта ряду Фур’є.

Отже, функція зветься перетворенням Фур’є функції . Ця функція характеризує спектральний склад функції і є спектральною характеристикою або спектральною щільністю функції .

При цьому (1.51)

Відомо, що перетворенню Фур’є підлягають функції, які задовольняють умовам Дирихле та абсолютно інтегровані на осі часу.

Формулу інтеграла Фур’є називають зворотним перетворенням Фур’є

(1.52)

У ряді задач автоматичного керування функція характеризує процес, який існує лише із деякого моменту часу, який приймається за нульовий. У цьому разі

, (1.53)

що визначає пряме однобічне перетворення Фур’є.

П 1.8

1. Застосування прямого однобічного перетворення Фур’є