Замечания. 1) Проверку подстановкой при наличии ссылки на равносильность преобразований не следует считать недочетом

1) Проверку подстановкой при наличии ссылки на равносильность преобразований не следует считать недочетом.

2) Возможно решение и без введения новой переменной.

3) При решении квадратного уравнения запись дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения не обязательна.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С3
	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) сведение второго уравнения системы к квадратному уравнению относительно и его решение; 2) проверка «пригодности» корня , выражение через в случае ; 3) решение системы, в котором приведены необходимые преобразования. Обоснованы моменты решения: а) в п.2 имеется ссылка на знаменатель первого уравнения; б) в п.3 имеется ссылка на равносильность преобразований (словесная или с помощью знака ). Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Обоснован ключевой момент а). Допустима описка, в результате которой может быть получен неверный ответ (например, в записи самого ответа пропущен минус).
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. При этом получено и верно решено уравнение , значение исключено. Обоснован ключевой момент а). Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.
	Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено: получено и верно решено уравнение . Допускается, что значение не исключено, а в случае t =25 составлена правильная система уравнений, но ее решение не завершено. Обоснования ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.
	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

ЗАДАНИЕ С4

Дана правильная призма АВСА₁В₁С₁, где АА₁, ВВ₁ и СС₁ – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА₁, пересекает ребро А₁С₁ в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ₁. Известно, что АВ = 12, А₁М: МС₁ = 3: 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

Так как призма правильная, то прямая АА₁^АВС. По условию центр О сферы лежит на ребре АА₁ и поэтому, по свойству плоскости, касательной к сфере, сфера с центром в точке О касается плоскости АВС в точке А. Значит, – радиус сферы.

Пусть L и L ₁ – середины ребер ВС и В ₁ С ₁ соответственно. Так как треугольник АВС – правильный, то . А так как , то , т.е. плоскости СВВ₁ и АLL ₁ перпендикулярны. Пусть Т – точка касания сферы с плоскостью СВВ ₁. Тогда ОТ – радиус сферы, , значит, ОТ лежит в плоскости АLL ₁. Тогда , а так как , то . Отсюда как высота правильного треугольника, со стороной 12.

Точка М лежит на сфере. Поэтому . По условию . Тогда . Из прямоугольного треугольника ОМА ₁ находим . Отсюда находим высоту призмы: .

Площадь S боковой поверхности призмы найдем по формуле . Отсюда .

Ответ: .