Третій закон Кеплера

Нагадаємо, що закони руху планет були встановлені І. Кеплером на основі вивчення даних із спостережень. На відміну від двох перших законів, де йде мова про особливості руху тіла-супутника (планети) відносно центрального тіла (Сонця), в третьому законі розглядаються дві довільні пари тіл, в кожній з яких тіла взаємодіють із силою всесвітнього тяжіння. У формулюванні Кеплера (для планет) квадрати періодів обертання будь-яких двох планет відносяться як куби їх середніх відстаней від Сонця:

.

Середньою відстанню R тіла-супутника від центрального тіла є половина великої осі орбіти – так звана велика піввісь.

Перевірку закону можна здійснити, маючи таблицю, побудовану для двох пар тіл («Сонце – планета1» і «Сонце – планета2»), або отримати його як теоретичний наслідок закону тяжіння, що ми і
виконаємо для найбільш простого випадку – для кругових орбіт.

Як було відмічено раніше, сила тяжіння надає прискорення обом тілам: , звідки

. (7)

З іншого боку , отже

; (8)

Об’єднуючи відповідні вирази з (7) і (8), отримуємо

; . (9)

Додаючи обидва рівняння з (9), і враховуючи, що Т ₁ = Т ₂, отримаємо

або ,

а це можна переписати у вигляді

.

Тут т ₁, т ₂ – маси тіл, що взаємодіють.

Переходячи до пари «планета – Сонце», отримаємо

= const.

Тоді для двох будь-яких пар тіл, в кожній з яких між тілами
діють сили всесвітнього тяжіння, можна записати:

(10)

Важко переоцінити значення виразу (10), що є уточненням третього закону Кеплера, що його виконав Ньютон на основі закону всесвітнього тяжіння Це одне з небагатьох співвідношень, які дозволяють порівнювати маси небесних тіл через інші параметри їхнього руху (в даному випадку через періоди обертання і радіуси орбіт).

Квадрати періодів обертання тіл-супутників навколо центральних тіл, помножені на суму мас відповідної пари тіл, відносяться як куби великих півосей їх орбіт.

Ще раз відмічаємо, що всі закони Кеплера описують поведінку будь-якої пари тіл, між якими діє сила всесвітнього тяжіння. Прикладами таких пар є Сонце – планета, Сонце – комета, планета – природний (чи штучний) супутник і тому подібне.

Дуже цікавими небесними об’єктами є комети, що мають вигляд хвостатих зірок або просто туманних плям, які переміщаються на тлі зоряного неба. Мабуть, найзнаменитішою періодичною кометою є комета Галлея. Записи про її появи можна простежити аж до 239 р. до н.е. Так її назвали на честь англійського вченого Эдмонда Галлея, який у 1705 р. першим припустив, що комети, які спостерігалися в 1456, 1531, 1607 і 1682 рр., були повторними поверненнями одного і того ж об’єкту. Він зробив передбачення, що комета знову повернеться в 1758 р., і її повернення, в 1758 р., вже після смерті вченого, довело, що вона є членом Сонячної системи. Коли комета Галлея
повернулася в 1910 р., Земля пройшла крізь її хвіст, що на той час стало джерелом надзвичайно сильного хвилювання серед населення, хоч проходження комети і не спричинило в природі ніяких наслідків. У 1986 р. спостерігалася чергова поява комети Галлея. Це було її сьоме і доки останнє повернення з подорожі навколо Сонця, якщо вести рахунок від тих днів в 1456 р., коли перелякані люди возносили молитви, благаючи захистити їх від «диявола, турка і комети».

Завдання

1. Отримайте вираз третього закону Кеплера для планет і Сонця (у формулюванні автора).

2. Обчисліть період комети Галлея.

8.4. Якщо у знаменнику закону тяжіння не r ², а r ^k

Далі мова піде про вивчення закону всесвітнього тяжіння для
довільного значення показника степеня k для відстані r між тілами

(7)

Поставлену проблему можна сформулювати і так: як би рухалися тіла Сонячної системи, якби гравітаційна взаємодія відбувалася за законом тяжіння (7) при довільних k?

Така постановка проблеми виходить за межі шкільних курсів
фізики й математики і є об’єктом вивчення курсу теоретичної фізики. Тому дослідження комп’ютерної моделі виявляється єдиним методом, що дозволяє усунути ускладнення, пов’язані з обмеженим математичним апаратом школярів.