Приклад використання теорії подібності: моделі руху суден у випробувальних каналах

Фізичні явища можна характеризувати не лише величинами, що мають певну розмірність, але безрозмірними комбінаціями таких величин. Ці безрозмірні комбінації, складені за певними правилами, називають критеріями подібності.

Для того, щоб два фізичні процеси були подібні, необхідно і
достатньо, щоб вони були якісно однаковими, а їхні критерії подібності – попарно рівні. Тоді, знаючи значення величин (наприклад, швидкість, тиск, температуру, щільність і т. п.), що характеризують один об’єкт (модель), можна знайти значення однієї з відповідних величин, що характеризують іншій (об’єкт-оригінал). Саме так за
результатами досліджень, проведених на моделі, визначають відповідні параметри оригіналу.

Першими в історії прикладами науково обґрунтованого використання методу моделювання історики науки схильні вважати роботи, пов’язані з дослідженнями гідродинамічних характеристик суден у
випробувальних каналах, які розгорнулися в другій половині XIX ст.

Для різних груп явищ існують свої критерії подібності. Кожен з критеріїв носить ім’я вченого, який його уперше запропонував. Зокрема, одним з основних критеріїв подібності в гідродинаміці, яка
вивчає рухи тіл у рідких середовищах, є число Фруда (за іменем англійського ученого-суднобудівника XІX ст. Уїльяма Фруда):

Fr = , (1)

де v – швидкість рідини на значній відстані від тіла, яке вона обтікає;

l – характерний лінійний розмір тіла;

g – прискорення сили тяжіння.

Критерій Фруда відіграє важливу роль при моделюванні процесів, пов’язаних з рухами кораблів. При невеликих швидкостях (для тихохідних суден) критерій Фруда Fr = 0,4 за умови, що швидкість визначається у вузлах (морських милях за годину).

Перед тим, як почати будівництво нового корабля, його зменшену копію – фізичну модель – досліджують у випробувальному каналі. Одним з багатьох питань, які цікавлять суднобудівників, є питання про швидкість. З моделлю судна, здавалося б, усе зрозуміло: вона дуже зменшена в порівнянні з натурою. Так, модель двохсотметрового танкера, виконана в масштабі 1:200, має довжину 1 м.

Припустимо, що реальний танкер повинен розвивати швидкість 19 вузлів. Поставимо питання: з якою швидкістю повинна рухатися модель в каналі, щоб результати вимірів, виконаних при її випробуваннях, допускали перерахунок на реальне судно? Чи також із швидкістю 19 вузлів, чи, можливо, швидкість слід зменшити у відношенні 1:200?

Фруд експериментально показав, що максимальна швидкість
судна за умови, що не вдаються ні до яких технічних «трюків», ніколи не перевищує значення

вузлів. (2)

Двохсотметровий корпус танкера має уздовж ватерлінії довжину близько 190 м, а модель – відповідно 0,95 м.

Максимальні швидкості танкера й моделі відповідно становлять

v_{max т} = 2,5∙ = 34,5 вузла = 64 км/год.

v_{max м} = 2,5 = 2,4 вузли = 4,5 км/год.

Досліди з моделлю показують, що коли модель тягнути у воді швидше, ніж 2,4 вузли, то вона просто «вистрибує» з води. Отже,
2,4 вузли – це дійсно максимально можлива швидкість моделі.

Таким чином, випробовуючи майбутній двохсотметровий танкер на моделі, слід мати на увазі два закони подібності:

1) подібність геометричних розмірів моделі і реального судна;

2) подібність при моделюванні швидкості руху судна у воді.

Зрозуміло, суднобудівникові необхідно заздалегідь знати, як
поведеться танкер не лише на максимальній швидкості, але й на економічній швидкості в звичайному рейсі. Відповідь на своє питання він отримає із закону подібності – рівності критеріїв Фруда для танкера й моделі:

,

і остаточно, подаючи швидкість реального судна (танкера) через швидкість його моделі, маємо:

v_т = v_м = v_м· » 14,1 v_м.

Зауваження. Окрім критерію Фруда в гідроаеродинаміці розглядають ще ряд критеріїв, серед яких досить відомий, – число Маха М. Число Маха – величина, що дорівнює відношенню швидкості v газового потоку до швидкості звуку а в тій самій точці потоку: М = v/а. Це основний критерій подібності для течії газу, що стискається.
Названий так за ім’ям австрійського фізика й філософа Ернста Маха.

Вправи

1. Доведіть, що критерій Фруда є безрозмірною комбінацією своїх компонентів.

2. Встановіть співвідношення між одиницями швидкості вузол і км/год.

3. Використовуючи принцип відносності руху, дайте відповідь на питання: що означає фраза «швидкість літака дорівнює 2 М»?