Теплицький І. О

ББК

Т 34

Елементи комп’ютерного моделювання: 12 етюдів для початківців: Навчальний посібник. – Кривий Ріг: ДВНЗ «КНУ», 2014. – 286 с., іл.

У посібнику представлена педагогічна технологія комп’ютерного моделювання, реалізована на основі дослідницького підходу в
навчанні; розглянуті приклади залучення школярів до побудови й
дослідження навчальних моделей об’єктів різної природи. В якості середовища для моделювання використовуються електронні таблиці.

Для вчителів, учнів 9-11 класів, студентів педагогічних вищих навчальних закладів, організаторів і слухачів курсів післядипломної
педагогічної освіти.

Рецензенти:

В. М. Соловйов – доктор фізико-математичних наук, професор Черкаського національного університету імені
Б. Хмельницького;

А. Д. Учитель – доктор технічних наук, професор національної металургійної академії України;

С. А. Семеріков – доктор педагогічних наук, професор Криворізького національного університету.

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України в якості
навчально-методичного посібника серії «Бібліотека учителя»
для учителів і учнів 9-11 класів загальноосвітніх шкіл, студентів
вищих учбових закладів, організаторів і слухачів курсів післядипломної педагогічної освіти
(лист № 1 / II – 3378 jn 15.05.2009)

ІSBN-978-966-2087-03-1 © Теплицький І. О., 2014.

ЗМІСТ

Передмова.................................................................................... 9

Розділ I. Моделювання як метод пізнання.................................... 16

Глава 1. Моделі й моделювання................................................. 19

1.1. Класифікація моделей (якими вони бувають)................... 22

1.1.1. Фізичне моделювання................................................. 22

1.1.2. Приклад використання теорії подібності: моделі руху суден у випробувальних каналах 23

1.1.3. Аналогове моделювання............................................ 25

1.1.4. Інтуїтивні моделі........................................................ 27

1.1.5. Інформаційні моделі................................................... 28

1.1.6. Знакові моделі............................................................. 29

1.2. Математичне моделювання............................................... 29

1.3. Комп’ютерне моделювання............................................... 30

Глава 2. Основні етапи моделювання....................................... 32

2.1. Створення моделі............................................................... 32

2.1.1. Постановка задачі і зміст відповіді............................ 32

2.1.2. Спрощуючі припущення............................................ 33

2.1.3. Головне протиріччя в моделюванні........................... 33

2.1.4. Суттєві й другорядні властивості об’єкта................. 34

2.2.1. Дослідження замкнутого електричного кола постійногоструму 36

2.2.2. Дослідження дільниці кола змінного струму............ 40

Висновки............................................................................... 42

2.3. Перевірка моделі на адекватність...................................... 42

2.4. Комп’ютерне моделювання та його особливості............. 43

2.4.1. Особливості, що залежать від комп’ютерів.............. 45

2.4.1. Дискретизація неперервних процесів........................ 46

2.4.2. Похибки комп’ютерних обчислень............................ 47

2.4.2.1. Похибки округлення........................................... 47

2.4.2.2. Чисельні методи.................................................. 47

Підсумки.................................................................................... 48

Розділ ІІ. Найперші моделі............................................................ 50

Глава 3. Модель процесу поширення чуток............................. 51

Постановка задачі...................................................................... 51

Аналіз проблеми: особливості протікання процесу................ 51

3.1. Найпростіша версія моделі................................................ 52

3.1.1. Комп’ютерна модель. Алгоритм роботи з моделлю 54

3.1.2. Обчислювальний експеримент................................... 55

Висновки.................................................................................... 59

3.2 Покращена версія моделі: врахування рівня комунікабельності мешканців 59

3.2.1. Алгоритм роботи з моделлю..................................... 60

3.2.1. Обчислювальний експеримент................................... 61

Висновки.................................................................................... 63

3.3. Чергове удосконалення моделі: врахування повторних знавців 64

3.3.1. Алгоритм роботи з удосконаленою моделлю........... 66

3.3.2. Обчислювальний експеримент................................... 66

Висновки.................................................................................... 69

3.4. Найпростіша модель епідемії............................................ 70

3.4.1. Постановка задачі....................................................... 70

3.4.2. Створення моделі: концептуальна модель................ 71

3.4.3. Створення моделі: математична модель................... 71

3.4.4. Алгоритм роботи з моделлю..................................... 72

3.4.5. Обчислювальний експеримент................................... 73

Висновки.................................................................................... 75

Розділ ІІІ. Елементи математичної екології............................... 76

Глава 4. Динаміка одновидової популяції................................ 78

4.I. Модель одновидової популяції за відсутності обмежень. 78

Формалізована постановка задачі. Загальний опис моделі 78

4.1.2. Алгоритм роботи з моделлю Мальтуса.................... 81

4.1.3. Обчислювальний експеримент................................... 81

Висновки.................................................................................... 82

4.2. Модель одновидової популяції за наявності обмежень.... 83

4.2.1. Алгоритм роботи з моделлю..................................... 85

4.2.2. Обчислювальний експеримент................................... 85

4.2.3. Стійкість комп’ютерної моделі.................................. 89

Висновки.................................................................................... 91

4.3. Промислове використання популяції................................ 91

4.3.1. Алгоритм роботи з моделлю..................................... 93

4.3.2. Обчислювальний експеримент................................... 93

Висновки.................................................................................... 98

4.4. Удосконалена модель вилову: негативний зворотний зв’язок 99

4.4.1. Автоматичне регулювання в живих, технічних і соціальних системах 101

Обчислювальний експеримент...................................... 103

Висновки.................................................................................. 105

Глава 5. Модель «хижак – жертва»......................................... 106

5.1. Попередні зауваження...................................................... 106

5.2. Постановка задачі та побудова моделі........................... 106

5.2.1. Математична модель................................................ 106

5.2.2. Комп’ютерна модель................................................ 108

5.3.3. Обчислювальний експеримент................................. 109

Висновки............................................................................. 116

Глава 6. Вікова модель одновидової популяції...................... 117

Вступ........................................................................................ 117

6.1. Найпростіша версія моделі: врахування народжуваності й смертності 117

6.1.1. Постановка задачі..................................................... 119

6.1.2. Алгоритм роботи з моделлю................................... 120

6.1.3. Обчислювальний експеримент (тестування)........... 121

6.2. Покращення моделі Леслі: врахування народжуваності й виживання 124

6.2.1. Практична задача...................................................... 126

6.2.2. Формалізована постановка задачі............................ 126

6.2.3. Алгоритм роботи з моделлю................................... 128

6.2.4. Обчислювальний експеримент................................. 128

6.2.5. Аналіз результатів.................................................... 130

6.3. Модель Леслі з природними обмеженнями.................... 132

6.3.1. Алгоритм роботи з моделлю................................... 133

6.3.2. Обчислювальний експеримент................................. 133

Висновки.................................................................................. 136

Розділ ІV Комп’ютерне моделювання з фізики: механіка......... 137

Глава 7. Механічні коливання................................................. 139

7.1. Рух тіла під дією сили пружності.................................... 139

7.1.1. Аналіз процесу.......................................................... 139

7.1.2. Постановка задачі. Концептуальна (змістова) модель 140

7.1.3. Інформаційна й математична моделі....................... 140

7.1.4. Комп’ютерна модель Дискретизація моделі.......... 141

7.1.5 Попереднє обговорення алгоритму.......................... 142

7.1.6. Комп’ютерна модель................................................ 144

7.1.7. Тестування моделі: нехтуємо опором..................... 145

7.1.8. Покращення точності обчислень............................. 146

Висновки............................................................................. 150

7.2. Рух тіла на пружині за наявності в’язкого тертя............. 150

7.3. Рух тіла на пружині за наявності сили сухого тертя...... 151

7.4. Фазова площина............................................................... 153

7.4.1. Теоретичні відомості................................................ 153

7.4.2. Дослідження коливальних процесів......................... 156

Висновки.................................................................................. 159

Глава 8. Рух тіла в полі сили тяжіння...................................... 160

Вступ........................................................................................ 160

8.1. Рух штучних супутників.................................................. 161

8.1.1. Умови, за яких тіло стає штучним супутником...... 161

8.1.2. Фізичний аналіз. Математична модель................... 161

8.1.3. Побудова комп’ютерної моделі............................... 163

8.1.4. Алгоритм роботи з моделлю................................... 163

8.1.4.1. Колова орбіта.................................................... 163

8.1.4.2. Еліптична орбіта............................................... 164

8.1.4.3. Параболічна й гіперболічна орбіти.................. 165

Висновки.................................................................................. 166

8.2. Рух природного супутника планети або компонентів системи «подвійна зірка» 166

8.2.1. Постановка задачі..................................................... 166

8.2.2. Обговорення алгоритму........................................... 169

8.2.3. Алгоритм роботи...................................................... 170

8.2.4. Обчислювальний експеримент................................. 171

8.2.5. Одиниці вимірювання в астрофізиці........................ 173

Висновки.................................................................................. 177

8.3. Закони Кеплера як наслідки закону всесвітнього тяжіння 177

8.3.1. Перший закон Кеплера............................................. 178

8.3.1.1. Математична й комп’ютерна моделі............... 178

8.3.1.2. Алгоритм роботи.............................................. 180

8.3.2. Другий закон Кеплера.............................................. 181

8.3.2.1 Алгоритм роботи............................................... 181

8.3.2.1 Обчислювальний експеримент.......................... 182

8.3.3. Третій закон Кеплера................................................ 182

8.4. Якщо у знаменнику закону тяжіння не r ², а r ^k................ 184

8.4.1. Математична модель................................................ 185

8.4.2. Обчислювальний експеримент................................. 185

Висновки............................................................................. 192

8.5. Моделювання абсолютних та відносних рухів планет... 192

8.5.1. Геліоцентрична система відліку.............................. 193

8.5.2. Геоцентрична система відліку................................. 195

Висновок............................................................................. 198

Глава 9. Задача про політ паперового літачка....................... 199

9.1. Рух тіла під дією декількох сил: загальні зауваження.... 199

9.1.1. План майбутньої роботи.......................................... 199

9.1.2. Постановка задачі. Створення концептуальної моделі 199

9.1.3. Математична модель................................................ 200

9.1.4. Попереднє обговорення алгоритму роботи з моделлю 202

9.1.5. Остаточний алгоритм. Комп’ютерна модель.......... 204

ІІ. Рух тіла під дією сили тяжіння (тестування моделі)......... 205

Короткі підсумки тестування............................................. 209

ІІІ. Рух тіла під дією сили тяжіння та сили опору середовища 210

Обчислювальний експеримент........................................... 212

Висновки............................................................................. 218

ІV. Рух тіла під дією трьох сил: сили тяжіння, сили опору середовища та підіймальної сили 219

Обчислювальний експеримент........................................... 221

Висновок............................................................................. 223

Глава 10. Задача про м’яку посадку на Місяць..................... 224

Передмова................................................................................ 224

Постановка задачі.................................................................... 224

Формалізація задачі та побудова моделі........................... 225

Аналіз умови й обговорення плану роботи....................... 226

Обчислювальний експеримент............................................... 230

Поліпшення інтерфейсу користувача................................ 232

Висновки.................................................................................. 234

Розділ V. Імітаційне моделювання.............................................. 235

Глава 11. Моделювання з допомогою випадкових чисел..... 237

11.1. Детерміновані й стохастичні моделі............................. 237

11.2. Метод Монте-Карло....................................................... 237

.3. Моделювання броунівського руху (проста модель)......... 240

11.3.1. Математична модель броунівського руху............ 241

11.3.2. Комп’ютерна модель. Обговорення алгоритму роботи з моделлю 241

11.3.3. Обчислювальний експеримент............................... 242

11.3.4. Статистичний аналіз результатів експерименту... 243

11.3.5. Приклад природного розподілу............................. 246

11.3.6. Моделювання з допомогою нормально розподілених випадкових чисел 248

11.3.6.1. Як отримати такий розподіл в середовищі електронних таблиць? 248

11.3.6.2. Картини броунівського руху з нормальним розподілом окремих випадкових переміщень..................................................................... 249

Висновки.................................................................................. 251

Глава 12. Задача дослідження операцій.................................. 253

12.1. Вступ.......................................................................... 253

12.2. Постановка задачі...................................................... 253

12.3. Обговорення алгоритму розв’язування задачі......... 254

12.4. Побудова математичної моделі................................ 256

12.5. Комп’ютерна модель. Обчислювальний експеримент 256

Висновки............................................................................. 264

Післямова................................................................................. 266

Термінологічний тлумачний словник...................................... 270

Література.................................................................................... 278