Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Пусть материальная точка одновременно совершает колебания, как вдоль оси , так и вдоль оси с одной и той же частотой . Определим вид траектории, по которой движется материальная точка.

Уравнения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебания одинаковой частоты:

(8.33)

Выберем начальный момент времени так, чтобы начальная фаза одного колебания была равна нулю (например, , ). Тогда

тогда, исключив время , получим

,

,

,

. (8.34)

Уравнение траектории движения материальной точки (8.34) представляет собой уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей и . Ориентация эллипса и значения его полуосей зависят от амплитуд и , а так же разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим частные случаи:

а) если разность фаз колебаний , тогда , следовательно

Таким образом, уравнение траектории − уравнение прямой. Результирующее колебание является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой и амплитудой .

б) если разность фаз колебаний , тогда , следовательно

Таким образом, уравнение траектории − уравнение прямой. Результирующее колебание является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой и амплитудой .

в) если разность фаз колебаний , тогда , следовательно

Таким образом, уравнение траектории − уравнение эллипса. Результирующее колебание является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой и амплитудой .

в) если частоты отличаются на , тогда уравнения колебаний можно записать в виде

можно рассматривать как медленно изменяющуюся во времени разность фаз по линейному закону. Материальная точка в этом случае движется по медленно меняющейся кривой, последовательно принимающей формы, отвечающие всем значениям разности фаз от до .

г) если частоты колебаний не одинаковы , то траектория движения материальной точки имеет сложный вид. Фигуры, которые получаются в результате сложения таких колебаний, называются фигурами Лиссажу, их вид зависит от соотношений и .