Свободные затухающие колебания. Все реальные колебательные системы являются диссипативными

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Их энергия расходуется на работу против сил трения. Поэтому такие колебания затухают, их амплитуда уменьшается.

Свободные затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии колебательной системой.

При малых колебаниях (при небольших скоростях движения) силы сопротивления , где − коэффициент сопротивления среды.

Запишем закон Ньютона для материальной точки совершающей свободные затухающие колебания, т.е. для материальной точки, движущейся под действием под действием квазиупругой силы и силы сопротивления . Уравнение движения вдоль оси в этом случае будет иметь следующий вид:

или , (8.15)

− дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний;

где − смещение тела из положения равновесия; − масса материальной точки, совершающей колебания под действием квазиупругой силы ; − сила сопротивления; − скорость материальной точки; − коэффициент сопротивления; − ускорение материальной точки; −коэффициент затухания; − циклическая частота собственных незатухающихколебаний.

Уравнение свободных затухающих колебаний (решение дифференциального уравнения (8.15))в случае слабого затухания :

(8.16)

где − смещение тела из положения равновесия; − амплитуда свободных затухающих колебаний; − амплитуда колебаний в начальный момент времени ; − циклическая частота затухающих колебаний, − период затухающих колебаний.

Таким образом, свободные затухающие колебания − это колебания с амплитудой , уменьшающейся по экспоненциальному закону, и постоянной частотой .

Время релаксации − промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз: , т.е. .

Декремент затухания: ,

где и − амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

Логарифмический декремент затухания: ,

− величина, обратно пропорциональная количеству колебаний , которое совершит система за время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз.

В случае большого трения решением дифференциального уравнения (8.15) является:

, где . (8.17)

График зависимости в этом случае представляет простую экспоненциальную функцию.