Нормированное пространство. Норма

В трёхмерном пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие:

1. Длина нуль-вектора, , равна нулю; длина любого другого вектора положительна.

2. Умножение вектора на положительное число во столько же раз увеличивает длину вектора.

3. Действует неравенство треугольника.

Обобщение этих свойств на более абстрактные векторные пространства носит название нормы. Векторное пространство, в котором определена норма, называется нормированным пространством.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Нормированным векторным пространством называется пара , где — векторное пространство, а — норма в .

Часто обозначение и опускают и пишут просто , если из контекста ясно, какая норма или полунорма имеется в виду.