Общее исследование функции

План общего исследования функции и построения графика:

1. Область определения функции.

2. Определение четности, нечетности, периодичности функции.

3. Точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Поведение функции на границах области определения. Точки разрыва функции и интервалы непрерывности.

5. Построение вертикальных и наклонных асимптот графика.

6. Экстремумы функции и интервалы монотонности.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

8. Определение некоторых значений функции для некоторых значений х.

9. Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точки x = 1, где знаменатель дроби обращается в нуль. .

2. , т.е. функция общего вида.

3. Точки пересечения координатных осей: (0; 9), (3; 0).

4. Точка x = 1 является точкой разрыва функции (в ней функция не определена). Интервалы непрерывности: (-∞; 1) и (1; +∞).

Определим поведение функции на границах D (f).

Найдем пределы f (x) при (слева и справа):

, .

Точка x = 1 является точкой разрыва 2-го рода.

Определим поведение функции при x → ±∞:

.

5. Если функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 1, в которой функция имеет бесконечный разрыв, то прямая x = 1 является для графика функции вертикальной асимптотой.

Найдем наклонную асимптоту в виде у = kх + b.

.

Наклонная асимптота графика y = – x + 5.

6. Найдем первую производную

.

Найдем стационарные точки, т.е. приравняем у’ =0. Получим

, x ₁ = 3, x ₂ = -1.

Точка x = 1 – критическая, так как в ней производная не существует.

Определим смену знака производной при переходе через эти точки.

Таким образом, х = -1 – точка min, у (-1) = 8 – минимум функции;

x = 3 – точка max, у (3) = 0 – максимум функции.

7. Вычислим вторую производную у″:

.

Вторая производная в нуль не обращается, а через точку х = 1 график не проходит, поэтому точек перегиба график не имеет.

На интервале (-∞,1) у″ > 0, и график выпуклый вниз, на интервале (1,+∞) у″ < 0, и график – выпуклый вверх.

График изображен на рис. 21.

Рис. 21