Достаточное условие экстремума функции

Рассмотрим на рис. 9 поведение функции f (х) в двух точках x ₃ и х ₄. В точке х ₄ функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание), т.е. производная слева от х ₄ положительна, а справа – отрицательна.

В точке x ₃ = 0 функция характер монотонности не меняет, слева и справа от стационарной точки функция возрастает, и ее производная сохраняет положительный знак.

Теорема 2 (достаточное условие extr). Если непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой δ- окрестности критической точки х ₀ и при переходе через нее слева направо производная f’ (x) меняет знак с плюса на минус, то точка х ₀ есть точка максимума, а при смене знака с минуса на плюс – точка минимума (рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. По условию теоремы функция f (x) – непрерывна в точке х ₀. Пусть во всех точках х < х ₀ некоторой δ-окрестности точки х ₀ выполняется f’ (x) > 0, а при всех х > х ₀, достаточно близких к х ₀, f’ (x) < 0, т.е. f’ (x) меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку х ₀.

Применим к функции f (x) на отрезке [ х; х ₀] теорему Лагранжа:

f (х) – f (х ₀) = f' (с) (х – х ₀).

Возьмем слева вблизи х ₀ значения х < х ₀. Тогда при (х – х ₀) < 0 и f' (с) > 0 будет f (х) – f (х ₀) = f' (с) (х – х ₀) < 0 или f (х) < f (х ₀).

Для значений х > х ₀ (справа вблизи х ₀) при (х – х ₀) > 0 и f' (с) < 0 будет

f (х) – f (х ₀) = f' (с) (х – х ₀) < 0 или f (х) < f (х ₀).

Таким образом, выявилась окрестность точки х ₀, в которой для всех x ≠ x ₀ выполняется f (х) < f (х ₀). Значит, х ₀ есть точка max.

Для точки min доказательство аналогичное.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 1 и 2 вытекает правило исследования функции на extr:

1) найти критические точки функции f (х);

2) выбрать лишь те из них, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной f’ (x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой 2 (достаточное условие экстремума) выписать точки extr (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Пример. Определить экстремум функции у = х ³ – 3 х ² + 2 и найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке [-0,5; 4].

Областью определения функции является вся числовая ось (-∞,+∞). Находим производную у’ (х) = 3 х ² – 6 х. Для нахождения стационарных точек приравниваем производную нулю: 3 х ² – 6 х = 3 х (х – 2) = 0. Решаем это уравнение и получаем стационарные точки х ₁ = 0, х ₂ = 2. Нанесем их на числовую ось, разбив отрезок [-0,5; 4] на интервалы (-0,5; 0), (0; 2), (2; 4) и определим в каждом из них знак производной у’ = 3 х (х – 2).

Для определения знака производной подставляем в производную какую-нибудь пробную точку из рассматриваемых интервалов. На интервале (-0,5; 0) производная f’ (х) > 0 (функция возрастает); на интервале (0; 2) f’ (х) < 0 (функция убывает); на интервале (2; 4) f’ (х) > 0 (функция возрастает).

Таким образом, переходя через точку x = 0, производная меняет знак с плюса на минус, т.е. стационарная точка х = 0 – точка максимума; в точке x = 2 производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. x = 2 – точка минимума.

Вычислим значения функции в точках х _min и х _max, подставив x = 2 и x = 0 в уравнение у = х ³ – 3 х ² + 2.

Получим х _max = 0, у _max = у (0) = 2; x _min = 2, у _min = у (2) = -2. Итак, мы определили локальные экстремумы.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (глобальных экстремумов) на отрезке [ а, b ]:

1. Находим критические точки (все стационарные точки и точки, в которых производная не существует) и вычисляем в них значения функции.

2. Вычисляем значения функции на концах отрезка, т.е. в точках х = а, х = b.

3. Сравнивая между собой вычисленные значения функции, выбираем наибольшее и наименьшее.

Значения в стационарных точках вычислены, подсчитаем значения функции на концах отрезка [-0,5; 4], т.е. в точках х = -0,5 и x = 4:

у (-0,5) = (-0,5)³ – 3∙(-0,5)² + 2 = 9/8 = 1,125;

у (4) = 4³ – 3·4² + 2 = 18.

Сравнивая значения функции у (-0,5), y (0), у (2), y (4), получаем, что наибольшее значение достигается на правом конце y (4) = 18, а наименьшее – в точке локального минимума y (2) = -2.

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на вычислении знака 2-й производной.

Теорема 3. (достаточное условие экстремума). Если в точке х ₀ первая производная функции f (x) равна нулю (f’ (x ₀) = 0), а вторая производная в точке х ₀ существует и отлична от нуля (f'' (x ₀) ≠ 0), то при f'' (x ₀) < 0 в точке х ₀ функция имеет максимум, а при f'' (x ₀) > 0 – минимум.

Доказательство. Пусть для определенности f'' (x ₀) > 0.

Так как , то в достаточно малой окрестности точки x ₀.

Если Δ х < 0, то f' (x ₀ + Δ х) < 0,

если Δ х > 0, то f' (x ₀ + Δ х) > 0,

т.е. при переходе через точку x ₀ первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 2, x ₀ – точка минимума.

Аналогично даказывается, что если f'' (x ₀) < 0, то х ₀ – точка максимума.