![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим на рис. 9 поведение функции f (х) в двух точках x 3 и х 4. В точке х 4 функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание), т.е. производная слева от х 4 положительна, а справа – отрицательна.
В точке x 3 = 0 функция характер монотонности не меняет, слева и справа от стационарной точки функция возрастает, и ее производная сохраняет положительный знак.
Теорема 2 (достаточное условие extr). Если непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой δ- окрестности критической точки х 0 и при переходе через нее слева направо производная f’ (x) меняет знак с плюса на минус, то точка х 0 есть точка максимума, а при смене знака с минуса на плюс – точка минимума (рис. 10).
Рис. 10
Доказательство. По условию теоремы функция f (x) – непрерывна в точке х 0. Пусть во всех точках х < х 0 некоторой δ-окрестности точки х 0 выполняется f’ (x) > 0, а при всех х > х 0, достаточно близких к х 0, f’ (x) < 0, т.е. f’ (x) меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку х 0.
Применим к функции f (x) на отрезке [ х; х 0] теорему Лагранжа:
f (х) – f (х 0) = f' (с) (х – х 0).
Возьмем слева вблизи х 0 значения х < х 0. Тогда при (х – х 0) < 0 и f' (с) > 0 будет f (х) – f (х 0) = f' (с) (х – х 0) < 0 или f (х) < f (х 0).
Для значений х > х 0 (справа вблизи х 0) при (х – х 0) > 0 и f' (с) < 0 будет
f (х) – f (х 0) = f' (с) (х – х 0) < 0 или f (х) < f (х 0).
Таким образом, выявилась окрестность точки х 0, в которой для всех x ≠ x 0 выполняется f (х) < f (х 0). Значит, х 0 есть точка max.
Для точки min доказательство аналогичное.
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 1 и 2 вытекает правило исследования функции на extr:
1) найти критические точки функции f (х);
2) выбрать лишь те из них, которые являются внутренними точками области определения функции;
3) исследовать знак производной f’ (x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
4) в соответствии с теоремой 2 (достаточное условие экстремума) выписать точки extr (если они есть) и вычислить значения функции в них.
Пример. Определить экстремум функции у = х 3 – 3 х 2 + 2 и найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке [-0,5; 4].
Областью определения функции является вся числовая ось (-∞,+∞). Находим производную у’ (х) = 3 х 2 – 6 х. Для нахождения стационарных точек приравниваем производную нулю: 3 х 2 – 6 х = 3 х (х – 2) = 0. Решаем это уравнение и получаем стационарные точки х 1 = 0, х 2 = 2. Нанесем их на числовую ось, разбив отрезок [-0,5; 4] на интервалы (-0,5; 0), (0; 2), (2; 4) и определим в каждом из них знак производной у’ = 3 х (х – 2).
Для определения знака производной подставляем в производную какую-нибудь пробную точку из рассматриваемых интервалов. На интервале (-0,5; 0) производная f’ (х) > 0 (функция возрастает); на интервале (0; 2) f’ (х) < 0 (функция убывает); на интервале (2; 4) f’ (х) > 0 (функция возрастает).
Таким образом, переходя через точку x = 0, производная меняет знак с плюса на минус, т.е. стационарная точка х = 0 – точка максимума; в точке x = 2 производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. x = 2 – точка минимума.
Вычислим значения функции в точках х min и х max, подставив x = 2 и x = 0 в уравнение у = х 3 – 3 х 2 + 2.
Получим х max = 0, у max = у (0) = 2; x min = 2, у min = у (2) = -2. Итак, мы определили локальные экстремумы.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (глобальных экстремумов) на отрезке [ а, b ]:
1. Находим критические точки (все стационарные точки и точки, в которых производная не существует) и вычисляем в них значения функции.
2. Вычисляем значения функции на концах отрезка, т.е. в точках х = а, х = b.
3. Сравнивая между собой вычисленные значения функции, выбираем наибольшее и наименьшее.
Значения в стационарных точках вычислены, подсчитаем значения функции на концах отрезка [-0,5; 4], т.е. в точках х = -0,5 и x = 4:
у (-0,5) = (-0,5)3 – 3∙(-0,5)2 + 2 = 9/8 = 1,125;
у (4) = 43 – 3·42 + 2 = 18.
Сравнивая значения функции у (-0,5), y (0), у (2), y (4), получаем, что наибольшее значение достигается на правом конце y (4) = 18, а наименьшее – в точке локального минимума y (2) = -2.
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на вычислении знака 2-й производной.
Теорема 3. (достаточное условие экстремума). Если в точке х 0 первая производная функции f (x) равна нулю (f’ (x 0) = 0), а вторая производная в точке х 0 существует и отлична от нуля (f'' (x 0) ≠ 0), то при f'' (x 0) < 0 в точке х 0 функция имеет максимум, а при f'' (x 0) > 0 – минимум.
Доказательство. Пусть для определенности f'' (x 0) > 0.
Так как , то
в достаточно малой окрестности точки x 0.
Если Δ х < 0, то f' (x 0 + Δ х) < 0,
если Δ х > 0, то f' (x 0 + Δ х) > 0,
т.е. при переходе через точку x 0 первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 2, x 0 – точка минимума.
Аналогично даказывается, что если f'' (x 0) < 0, то х 0 – точка максимума.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 1053 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!