![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. График дифференцируемой функции f (x) называется выпуклым вниз на интервале (а, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 11).
График функции f (x) называется выпуклымвверх на интервале (a, b), если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале (рис. 12).
Рис. 11 Рис. 12
Так, парабола у = х 2 является выпуклой вниз на всей числовой оси (рис.13), а полуокружность (рис. 14) имеет график, выпуклый вверх на отрезке (-1, 1).
Рис. 13 Рис. 14
Определение 2. Точкой перегиба графика функции f (x) называется точка графика непрерывной функции М 0(х 0, f (x 0)), отделяющая его части разной выпуклости (рис. 15).
Рис. 15
Для определения интервалов выпуклости вверх и вниз используют знак второй производной функции f (x).
Теорема 1 (достаточное условие точки выпуклости). Если функция f (x) во всех точках интервала (a, b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f ″(х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f ″(x) > 0 для всех х є (a, b), то график функции выпуклый вниз в этом интервале.
Доказательство. Пусть f ″(х) < 0 для любого х є (a, b). Возьмем на графике произвольную точку М с абсциссой х 0 є (a, b) и проведем через М касательную (рис. 16).
Рис. 16
Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке х є (a, b) ординату y кривой y = f (х) с ординатой y кас ее касательной.
Уравнение касательной y кас – f (х 0) = f' (x 0) (х – x 0), т.е. y кас = f (х 0) + f' (x 0) (х – x 0).
Тогда y – y кас = f (х) – f (х 0) – f' (x 0) (х – x 0).
По теореме Лагранжа, f (х) – f (х 0) = f' (с) (х – x 0), где с лежит между x 0 и х. Поэтому
y – y кас = f' (с) (х – x 0) – f' (x 0) (х – x 0),
т.е.
y – y кас = (f' (с) – f' (x 0)) (х – x 0).
Разность f' (с) – f' (x 0) снова преобразуем по формуле Лагранжа:
f' (с) – f' (x 0) = f'' (с 1) (с – x 0), где с 1 лежит между х 0 и с.
Поэтому
y – y кас = f'' (с 1) (с – x 0) (х – x 0).
Исследуем это равенство:
1) если х > x 0, то х – x 0 > 0, с – x 0 > 0 и f'' (с 1) < 0. Следовательно, y – y кас < 0, т.е. y < y кас.
2) если х < x 0, то х – x 0 < 0, с – x 0 < 0 и f'' (с 1) < 0. Следовательно, y – y кас < 0, т.е. y < y кас.
Итак, доказано, что во всех точках интервала (a, b) ордината касательной больше ординаты графика, т.е. график функции выпуклый вверх.
Аналогично доказывается, что при f ″(x) > 0 график выпуклый вниз.
Следствие теоремы 1 (необходимое условие точки перегиба графика функции). Если точка М 0(х 0, f (x 0)) является точкой перегиба графика f (x), то вторая производная f ″(x 0) равняется нулю или не существует.
Действительно, стоит только предположить противное, т.е. существует f ″(x 0) ≠ 0, как тотчас же, согласно теоремы 1, точка М 0 не оказывается точкой перегиба, а является точкой выпуклости, что противоречит условию следствия.
Таким образом, точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых вторая производная f ″(x) = 0 или не существует.
Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.
Теорема 2. (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f ″(x) при переходе через точку x 0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика М 0(х 0, f (x 0)) является точкой перегиба.
Доказательство. Пусть f ″(x) < 0 при х < x 0 и f ″(x) > 0 при х > x 0. Это значит, что слева от x 0 график выпуклый вверх, а справа – выпуклый вниз. Следовательно, точка графика (х 0, f (x 0)) является точкой перегиба.
Аналогично доказывается, что если f ″(x) > 0 при х < x 0 и f ″(x) < 0 при х > x 0, то точка (х 0, f (x 0)) – точка перегиба графика функции f (x).
Пример. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции
y = x 5 – x + 5.
Решение. y' = 5 x 4 – 1, y'' = 20 x 3. Вторая производная существует на всей числовой оси; y'' = 0 при х = 0.
Отмечаем, что y'' < 0 при х < 0; y'' > 0 при х > 0. Следовательно, график функции в интервале (-∞; 0) – выпуклый вверх, в интервале (0; ∞) – выпуклый вниз. Точка (0; 5) – точка перегиба.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 1022 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!