Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение 1. График дифференцируемой функции f (x) называется выпуклым вниз на интервале (а, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 11).

График функции f (x) называется выпуклымвверх на интервале (a, b), если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале (рис. 12).

Рис. 11 Рис. 12

Так, парабола у = х ² является выпуклой вниз на всей числовой оси (рис.13), а полуокружность (рис. 14) имеет график, выпуклый вверх на отрезке (-1, 1).

Рис. 13 Рис. 14

Определение 2. Точкой перегиба графика функции f (x) называется точка графика непрерывной функции М ₀(х ₀, f (x ₀)), отделяющая его части разной выпуклости (рис. 15).

Рис. 15

Для определения интервалов выпуклости вверх и вниз используют знак второй производной функции f (x).

Теорема 1 (достаточное условие точки выпуклости). Если функция f (x) во всех точках интервала (a, b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f ″(х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f ″(x) > 0 для всех х є (a, b), то график функции выпуклый вниз в этом интервале.

Доказательство. Пусть f ″(х) < 0 для любого х є (a, b). Возьмем на графике произвольную точку М с абсциссой х ₀ є (a, b) и проведем через М касательную (рис. 16).

Рис. 16

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке х є (a, b) ординату y кривой y = f (х) с ординатой y _кас ее касательной.

Уравнение касательной y _кас – f (х ₀) = f' (x ₀) (х – x ₀), т.е. y _кас = f (х ₀) + f' (x ₀) (х – x ₀).

Тогда y – y _кас = f (х) – f (х ₀) – f' (x ₀) (х – x ₀).

По теореме Лагранжа, f (х) – f (х ₀) = f' (с) (х – x ₀), где с лежит между x ₀ и х. Поэтому

y – y _кас = f' (с) (х – x ₀) – f' (x ₀) (х – x ₀),

т.е.

y – y _кас = (f' (с) – f' (x ₀)) (х – x ₀).

Разность f' (с) – f' (x ₀) снова преобразуем по формуле Лагранжа:

f' (с) – f' (x ₀) = f'' (с ₁) (с – x ₀), где с ₁ лежит между х ₀ и с.

Поэтому

y – y _кас = f'' (с ₁) (с – x ₀) (х – x ₀).

Исследуем это равенство:

1) если х > x ₀, то х – x ₀ > 0, с – x ₀ > 0 и f'' (с ₁) < 0. Следовательно, y – y _кас < 0, т.е. y < y _кас.

2) если х < x ₀, то х – x ₀ < 0, с – x ₀ < 0 и f'' (с ₁) < 0. Следовательно, y – y _кас < 0, т.е. y < y _кас.

Итак, доказано, что во всех точках интервала (a, b) ордината касательной больше ординаты графика, т.е. график функции выпуклый вверх.

Аналогично доказывается, что при f ″(x) > 0 график выпуклый вниз.

Следствие теоремы 1 (необходимое условие точки перегиба графика функции). Если точка М ₀(х ₀, f (x ₀)) является точкой перегиба графика f (x), то вторая производная f ″(x ₀) равняется нулю или не существует.

Действительно, стоит только предположить противное, т.е. существует f ″(x ₀) ≠ 0, как тотчас же, согласно теоремы 1, точка М ₀ не оказывается точкой перегиба, а является точкой выпуклости, что противоречит условию следствия.

Таким образом, точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых вторая производная f ″(x) = 0 или не существует.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 2. (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f ″(x) при переходе через точку x ₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика М ₀(х ₀, f (x ₀)) является точкой перегиба.

Доказательство. Пусть f ″(x) < 0 при х < x ₀ и f ″(x) > 0 при х > x ₀. Это значит, что слева от x ₀ график выпуклый вверх, а справа – выпуклый вниз. Следовательно, точка графика (х ₀, f (x ₀)) является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если f ″(x) > 0 при х < x ₀ и f ″(x) < 0 при х > x ₀, то точка (х ₀, f (x ₀)) – точка перегиба графика функции f (x).

Пример. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции

y = x ⁵ – x + 5.

Решение. y' = 5 x ⁴ – 1, y'' = 20 x ³. Вторая производная существует на всей числовой оси; y'' = 0 при х = 0.

Отмечаем, что y'' < 0 при х < 0; y'' > 0 при х > 0. Следовательно, график функции в интервале (-∞; 0) – выпуклый вверх, в интервале (0; ∞) – выпуклый вниз. Точка (0; 5) – точка перегиба.