Возрастание и убывание функций

Промежутки, в которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности.

Установим необходимые и достаточные условия монотонности функции.

Теорема 1 (необходимые условия монотонности). Если дифференцируемая на интервале (a, b) (т.е. имеет производную в каждой точке этого интервала) функция f (x) возрастает (убывает), то производная функции во всех точках этого интервала неотрицательна (неположительна), т.е. f' (x) ≥ 0 (f' (x) ≤ 0) для любого .

Доказательство. Пусть f (x) возрастает на интервале (a, b). Возьмем произвольные точки х и х + Δ х на интервале (a, b) и рассмотрим отношение .

Функция f (x) возрастает, поэтому

если Δ х > 0, то х + Δ х > x и f (х + Δ х) > f (x);

если Δ х < 0, то х + Δ х < x и f (х + Δ х) < f (x).

В обоих случаях , так как числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

По условию теоремы f (x) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,

. Теорема доказана.

Аналогично доказывается случай, когда f (x) убывает на интервале.

Геометрический смысл необходимого условия возрастания функции: касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох (на рис. 1 в точке х ₀).

Рис. 1

Замечание. Сформулированное условие является необходимым, но не достаточным.

Например, на участках монотонности функции могут встречаться точки, в которых функция вообще не имеет производной.

Пример. График возрастающей на всей числовой оси функции у = 2 x + | х | в точке х = 0 имеет излом (рис. 2), т.е. производная в этой точке f' (х = 0) не существует.

Рис. 2

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и во всех его точках имеет положительную (отрицательную) производную (т.е. f' (x) > 0 (f' (x) < 0)), то функция строго возрастает (строго убывает) на этом интервале (a, b).

Доказательство. Пусть х ₁ и х ₂ – две произвольные точки интервала (a, b), причем х ₁ < х ₂. Применим к отрезку [ х ₁, х ₂] теорему Лагранжа, т.е. существует точка с є (х ₁; х ₂) такая, что f (х ₂) – f (х ₁) = f' (с) (х ₂ – х ₁).

Если f' (x) > 0, то для х ₁ < х ₂ из формулы Лагранжа (при f' (с) > 0 и (х ₂– х ₁)>0) следует, что f (х ₂) – f (х ₁) > 0 или f (х ₂) > f (х ₁). Последнее неравенство означает, что f (x) на интервале (a, b) строго возрастает.

Если f' (x) < 0 (т.е. f' (с) < 0), то для (х ₂ – х ₁) > 0 находим, что f (х ₂) – f (х ₁) < 0 или f (х ₂) < f (х ₁), т.е. f (x) на интервале (a, b) строго убывает. Теорема доказана.

Замечание. Сформулированное в теореме 2 условие у ' > 0 является достаточным для строгого возрастания функции, но не является необходимым.

Например, функция у = х ³ строго возрастает на всей числовойоси (рис. 3). Вместе с тем, ее производная у' = 3 х ² обращается в нуль при x = 0. То есть производная функции х ³ на всей числовой оси является неотрицательной у ' ≥ 0.

Рис. 3

Теоремы 1 и 2 позволяют исследовать функцию на монотонность.

Рассмотрим графики функций y = f (x), у = g (x) и у =j(х) на рис. 4, 5, 6.

На рис. 4 и 5 функции f (х) и g (x) возрастают, но график на рис. 4 – пологий на участке [ а, 0], т.е. функция f (x) растет медленно. График g (x) на рис. 5 круто поднимается вверх на участке [ а, b ], т.е. растет с большей скоростью. Сравним углы наклона касательных a₁ и a₂ к графикам в точке М ₀, которые они образуют с положительным направлением Ох. Так как углы a₁ и a₂ – острые, то tga₁>0 и tga₂ > 0, т.е. производные положительны. Поскольку tga₁ < tga₂ (т.е. f' (х) < g' (x)), то график g (x) растет «круче», чем график f (x).

На рис. 6 график функции j(х) убывает на [ х ₀, а ]. Угол касательной с осью Оx a₃ – тупой, и tga₃ = j'(х ₀) < 0.

Пример. Исследовать f (x) = x ² + 2 x – 3 на возрастание и убывание.

Решение. Область определения функции: R = (-∞, ∞).

Производная f' (x) = 2(x + 1) = 0. Откуда x = -1. Этой точкой разобьем область определения на два интервала: (-∞; -1) и (-1; ∞).

При x є (-∞; -1) f' (x) < 0, т.е. f (x) убывает на интервале (-∞; -1);

при x є (-1; ∞) f' (x) > 0, т.е. f (x) возрастает на интервале (-1; ∞).