Асимптоты графика функции

Определение 1. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Определение 2. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика f (x), если или (рис. 17), или .

Рис. 17

Для отыскания вертикальных асимптот следует найти те значения х, вблизи которых функция f (x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва 2-го рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту х = -1, так как (рис. 18).

Рис. 18

Теорема. Прямая у = kх + b является наклонной асимптотой графика f (x) тогда и только тогда, когда существуют пределы

Доказательство.

1) Дано: и . Доказать, что у = kх + b – асимптота графика f (x).

Используя связь между пределом функции и бесконечно малой величиной, запишем: f (x) – kx = b + β(x), где – б.м.ф.

Тогда f (x) – (kx + b) = β(x) → 0 при х → ∞. Левая часть последнего равенства является разностью ординат точки кривой M и точки прямой М ₁ (рис. 19): | MМ ₁|→0. Из прямоугольного треугольника MPМ ₁ следует, что когда гипотенуза | MМ ₁| → 0, то и катет | MP | = d → 0. Тогда, согласно определению асимптоты, прямая у = kх + b будет асимптотой графика f (x).

Рис. 19

2) Дано: у = kх + b – асимптота графика f (x). Доказать, что существуют пределы и .

Из определения асимптоты следует, что расстояние между точкой кривой М и точкой прямой P стремится к нулю, значит, является бесконечно малой величиной (| MP | = d = α(x) → 0 при х → ∞, где α(x) – б.м.ф.) (рис. 19).

Запишем разность ординат точки кривой M и точки прямой P, используя связь между пределом функции и бесконечно малой величиной (здесь kх + b является пределом функции f (x) при х → ∞): f (x) = kx + b + α(x). Тогда

; .

b = f (x) – kx – α(x) = . Теорема доказана.

Для горизонтальной асимптотыу = b выполняется k = 0 и b = .

Замечание 1. Если хотя бы один из пределов k (угловой коэффициент прямой) или b (сдвиг прямой по оси Оy) не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Замечание 2. Асимптоты графика функции f (x) при х → +∞ и х → -∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов k и b случаи, когда х → +∞ и когда х → -∞, следует рассматривать раздельно.

Пример. На графике (рис. 20) точки х ₂, х ₄ – точки экстремумов функции, точка х ₁ – точка перегиба.

Рис. 20

Точка х ₃ – точка разрыва функции 2-го рода; прямая х = х ₃ является вертикальной асимптотой графика функции.

Прямая х = 0 – горизонтальная асимптота, а у = kх + b – наклонная асимптота графика.