![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Определение 2. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика f (x), если или
(рис. 17), или
.
Рис. 17
Для отыскания вертикальных асимптот следует найти те значения х, вблизи которых функция f (x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва 2-го рода.
Например, кривая имеет вертикальную асимптоту х = -1, так как
(рис. 18).
Рис. 18
Теорема. Прямая у = kх + b является наклонной асимптотой графика f (x) тогда и только тогда, когда существуют пределы
Доказательство.
1) Дано: и
. Доказать, что у = kх + b – асимптота графика f (x).
Используя связь между пределом функции и бесконечно малой величиной, запишем: f (x) – kx = b + β(x), где – б.м.ф.
Тогда f (x) – (kx + b) = β(x) → 0 при х → ∞. Левая часть последнего равенства является разностью ординат точки кривой M и точки прямой М 1 (рис. 19): | MМ 1|→0. Из прямоугольного треугольника MPМ 1 следует, что когда гипотенуза | MМ 1| → 0, то и катет | MP | = d → 0. Тогда, согласно определению асимптоты, прямая у = kх + b будет асимптотой графика f (x).
Рис. 19
2) Дано: у = kх + b – асимптота графика f (x). Доказать, что существуют пределы и
.
Из определения асимптоты следует, что расстояние между точкой кривой М и точкой прямой P стремится к нулю, значит, является бесконечно малой величиной (| MP | = d = α(x) → 0 при х → ∞, где α(x) – б.м.ф.) (рис. 19).
Запишем разность ординат точки кривой M и точки прямой P, используя связь между пределом функции и бесконечно малой величиной (здесь kх + b является пределом функции f (x) при х → ∞): f (x) = kx + b + α(x). Тогда
;
.
b = f (x) – kx – α(x) = . Теорема доказана.
Для горизонтальной асимптотыу = b выполняется k = 0 и b = .
Замечание 1. Если хотя бы один из пределов k (угловой коэффициент прямой) или b (сдвиг прямой по оси Оy) не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.
Замечание 2. Асимптоты графика функции f (x) при х → +∞ и х → -∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов k и b случаи, когда х → +∞ и когда х → -∞, следует рассматривать раздельно.
Пример. На графике (рис. 20) точки х 2, х 4 – точки экстремумов функции, точка х 1 – точка перегиба.
Рис. 20
Точка х 3 – точка разрыва функции 2-го рода; прямая х = х 3 является вертикальной асимптотой графика функции.
Прямая х = 0 – горизонтальная асимптота, а у = kх + b – наклонная асимптота графика.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 396 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!