Метод узловых потенциалов

Выбираем УПН токов ветвей,обозначаем узлы. Выбираем базовый или опорный узел так,чтобы он являлся 1-м из концов ветвей идеального источника ЭДС.Если нет идеального источника, примем за опорный любой узел. Если в схеме несколько ветвей с идеальными источниками, то остальные исключить путем преобразования.

Обозначаем потенциалы остальных узлов. Выбираем УПН потенциалов этих узлов.

Определяем количество уравнений по МУПу.

Nур=Nузл – Nветв с ид ист-1

Составить для каждого независимого узла уравнения по МУПу. Записать токи ветвей через узловые потенциалы.

φ4=0

φ1-?, φ2-?, φ3-?

Составляем систему уравнений

φ1(1/R1 + 1/R7 + 1/R3 +1/R6) – φ2*1/R3 – φ3* = - E1/R1 – E6/R6

φ2(1/R2 + 1/R3 +1/R5) – φ1*1/R3 – φ3*1/R5= 0

φ3(1/R5 + 1/R8 + 1/(R4+∞) +1/R6) – φ1*1/R6 – φ2*1/R5= E6/R6 – J

Составляем матрицу

G11 – G12 –G13 φ1 I11

-G21 G22 – G23 * φ2 = I22

-G31 –G32 G33 φ3 I33

(1/R1 + 1/R7 + 1/R3 +1/R6) -1/R3 -1/R6 φ1 I11

-1/R3 (1/R2 + 1/R3 +1/R5) - 1/R * φ2 = I22

-1/R6 - 1/R5 (1/R5 + 1/R8 + 1/(R4+∞) +1/R6) φ3 I33

Решаем эту систему относительно неизвестных потенциалов.

φ1(1+1+0,5+0,5) – φ2*0,5– φ3*0,5= - 2-0,5

φ2(1+0,5+1) – φ1*0,5 – φ3*1 = 0

φ3(1+0,5+0,5) – φ1*0,5 – φ2*1 = 0,5-4

Подставляем в каждое уравнение системы известные значения величин.

φ1*3 – φ2*0,5– φ3*0,5= - 2,5

φ2*2,5 – φ1*0,5 – φ3*1 = 0

φ3*2– φ1*0,5 – φ2*1 = -3,5

1)Рассмотрим первое уравнение системы.

φ2*0,5= φ1*3 - φ3*0,5+2,5

φ2= φ1*6 - φ3+5 (1)

2) Рассмотрим второе уравнение системы. Подставляем в него полученное уравнение (1)

(φ1*6 - φ3+5)*2,5 - φ1*0,5 – φ3 = 0

15 φ1 – 2,5 φ3 +12,5 - φ1*0,5 – φ3=0

φ1= (3,5 φ3 – 12,5)/14,5 = (3,5 φ3/14,5) – (12,5/14,5) (2)

3) Рассмотрим третье уравнение системы. Подставляем в него полученные уравнения (1) и (2)

φ3*2 – ((3,5 φ3/14,5) –(12,5/14,5))*0,5 - φ1*6 + φ3 – 5= - 3,5

φ3*2 –(1,75 φ3/14,5) +(6,25/14,5) – ((3,5 φ3/14,5) – (12,5/14,5))*6 + φ3 – 5= - 3,5

φ3*2 –(1,75 φ3/14,5) +(6,25/14,5) –(21 φ3/14,5) + (75/14,5)+ φ3 – 5= - 3,5

φ3*3 –(22,75 φ3/14,5) +(81,25/14,5) = 1,5

(20,75 φ3/14,5) +(81,25/14,5) = 1,5

20,75 φ3 + 81,25 = 21,75

20,75 φ3 = -81,25 + 21,75

Получили значение:

φ3= - 59,5/20,75 = -2,867 B

Подставляем полученное значение

φ1 = (- 3,5*2,867/14,5) – (12,5/14,5) = -0,692 – 0,862=-1,554 B

Подставляем полученное значение

φ2= -1,554*6 + 2,867 + 5= -9,324 +7,867= -1,457 B

Находим токи в каждой ветви через полученные потенциалы по закону Ома.

I3= (φ2- φ1)/R3 = (-1,457 + 1,554)/2=0,048 A

I5=(φ2- φ3)/R5 = (-1,457 + 2,867)/1=1,41 A

I2=(φ4- φ2)/R2 = 1,457 A

I7=(φ4- φ1)/R7 = 1,554A

I8= - φ3/R8 = 2,867/2=1,434 A

I1=(φ5- φ4)/R1 = (φ1+ E1)/R1 = (-1,554 + 2)/1== 0,446 A

_­ I6=(φ1- φ3+E6)/R6 = (-1,554 +1+2,867)/2=1,157 A

Собираем принципиальную электрическую схему (ПЭС) на ПК в Multisim-9.

Включаем в схему амперметры и измеряем действующие значения токов в ветвях ПЭС. Сравниваем результаты измерений с расчетами.

Ответ: I1=0,446 A

I2 = 1,458 A

I3= 0,048 A

I4 = 1A

I5 =1,410 A

I6 = 1,157 A

I7= 1,554 A

I8= 1,434 A

Задача №1

Задание: 1)токи всех ветвей схемы, используя МКТ, МУП.

2) ток в выделенной ветви, используя МЭГi, МЭГu.

3)проверить баланс мощностей.

Дано:R2=5 Ом

R3= 10 Ом

R4=5 Ом

R5=10 Ом

R6=5 Ом

R7=5 Ом

R8=2 м

Е1=30В

Е3=5В

J=1 A

Решение:

Дана принципиальная электрическая схема.

1. Метод контурных токов.

Выбираем УПН.

Выбираем N независимых контуров по формуле К= В –Вj – У+1.Число уравнений системы МКТ равно количеству уравнений по 2-му закону Кирхгофа.

Выбираем УПН контурных токов.Выбирают УПН так,чтобы каждый контурный токпроходил через ветви,содержащие 1 источник тока. Остальные выбирают,проходящие по ветвям,не содержащие источника тока.

I11 I22

J

Обходя каждый из независимых контуров, в выбранных УПН, записываем уравнение по 2-му закону Кирхгофа.Решаем эту систему относительно неизвестных контурных токов

I11(R4+R3+R7+R5)+I22(R7+R4)- JR5 =E3=E11

I22(R6+R4+R7)+I11(R7+R4) +JR6 =-E1=E22

Подставляем в каждое уравнение системы известные значения величин.

I11*30+I22*10 =5+10

I22*15+I11*10 =-35

I11*30+I22*10 =15

I22*45+I11*30=-105

Получаем значения:

35*I22= -120

I22= -3,429

Подставляем полученное значение:

I11=(15-10* I22)/30= (15-34,286)/30= - 0,643

Методом наложения находим токи в каждой ветви.

I1=- I22= 3,429 A

I5= -I11= 0,643 A

По 1-му закону Кирхгофа находим токи.

I6- I1 + I2=0

I6=I1 - I2=3,429- 1= 2,429 A

I5+ I4 – I6=0

I4=I6 – I5=2,429 – 0,643= 1,786 A

I1-I4 – I3=0

I3 = I1 – I4=3,429 – 1,786 = 1,643 A