Возникновение современной аксиоматики

В конце 60-х годов прошлого столетия перед математиками возник­ла задача построить такую аксиоматику элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, можно было бы по­строить все величественное здание геометрии без каких-либо ссылок на наглядность и очевидность. Эта задача стала особенно актуальной после того, как идеи Лобачевского получили всеобщее признание и появились работы Б. Римана по эллиптической геометрии.

Первые успехи построения полной системы аксиом, из которых строго дедуктивным путем может быть выведен весь массив теорем евклидовой геометрии, относятся к концу XIX – начала XX вв. При этом пути аксиоматического построения геометрии были одновременно указаны несколькими учеными. Среди первых авторов, предложивших свои варианты аксиоматики евклидовой геометрии, были итальянский математик М. Пиери (1860 – 1913), немецкий математик Д. Гильберт (1862 – 1943) и русский математик В.Ф. Каган (1869 – 1953). Все исследователи базировались на более ранних результатах итальянского математика Д. Пеано (1858 – 1932), немецкого математика М. Паша (1843 – 1930) и др. Основными понятиями геометрии в схеме Пиери являются «точки» и «движение». Идею движения как об одном из основных понятий геометрии Пиери заимствовал у своего учителя Д. Пиано. В схеме Гильберта – если ограничиться геометрией на плоскости – «точка», «прямая», «инцидентность», «между» и «конгруэнтность». В схеме Кагана основными понятиями геометрии являются «точка», «расстояние» и «движение». Предложенные этими учеными системы аксиом были равно достаточны для обоснования евклидовой геометрии.

Книга Гильберта «Основания геометрии» [181, которая впервые по­явилась в I899 г., сыграла существенную роль в этой серии иссле­дований. По существу, этой работой был завершен целый историчес­кий этап построения геометрии аксиоматическим методом. В преди­словии к русскому переводу этой книги проф. П. К. Рашевский дает следующую ее характеристику: «Основная заслуга Гильберта, бла­годаря которой его труд на наших глазах становится классическим, заключается в следующем. Гильберту удалось сконструировать аксио­матику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становится совершенно прозрач­ной. Это расчленение аксиоматики позволяет, во-первых, формули­ровать аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как далеко можно развивать геометрию, если положить в ее основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом, на которые естественным образом расчленяется аксиоматика. Такого ро­да логический анализ, выясняющий роль отдельных групп аксиом, действительно проведен Гильбертом в ряде интересных исследований, которые и составляют, в сущности, большую часть его книги.

Кроме того, работа Гильберта дала начало целому ряду дальней­ших исследований в этом же направлении».

Существуют и другие варианты аксиоматик, занимающие в учебной литературе по геометрии заметное место. Например, аксиоматика немецкого математика Ф. Шура (1856 – 1932), которая изложена им в работе «Основания геометрии» (Лейпциг, 1909). За эту работу Шура был удостоен премии им. Н.И. Лобачевского (1912). Его идея состояла в замене гильбертовых аксиом конгруэнтности аксиомами движения. При этом оказалось возможным сохранить принадлежащее Гильберту деление всей системы аксиом на отдельные части, отвечающие тем или иным категориям свойств евклидовой плоскости или пространства. Была изменена лишь 3-я группа аксиом Гильберта. Таким образом, удалось, не отказываясь ни от одного из главных достоинств построений Гильберта, ввести в число основных понятий движения, значение которых для обоснования евклидовой геометрии было раскрыто в «Эрлангенской программе» Ф. Клейна (1849 – 1925).

Дальнейшая эволюция вопроса об основаниях геометрии, связана с понятиями осевой и центральной симметрии. Идея о возможности объявить понятие осевой симметрии одним из неопределяемых понятий, описываемых системой аксиом, была указана Виллерсом (1922), предложившим заменить аксиомы движения Шура аксиомами симметрии. Предложение Виллерса модифицирует соответствующим образом аксиоматику Гильберта или Шура.

Развитие идеи обоснования геометрии на основе понятия симметрии привело немецкого математика Ф. Бахмана (род. 1909 г.) к совершенно новым концепциям, отличающимся от установок Гильберта и Шура. Свои идеи Ф. Бахман представил в работе «Построение геометрии на основе понятия симметрии» (1959). Укажем достоинства аксиоматики Бахмана.

Аксиоматика Гильберта легко может быть видоизменена так, чтобы она характеризовала геометрию Лобачевского, но не может быть модифицирована так, чтобы охватить и геометрию Римана. В противоположность этому аксиоматика Бахмана легко модифицируется так, что с ее помощью могли быть охарактеризованы геометрия Евклида, геометрия Лобачевского и геометрия Римана, но, более того и «абсолютная геометрия».

Использование симметрий в основаниях геометрии представляется оправданным, т.к. в последние годы возросло значение симметрий в прикладных науках и физике. Например, достаточно указать на идущую от немецкого математика и физика Г. Вейля (1885 – 1955) и американского физика-теоретика нобелевского лауреата (1963) Э. Вигнера (род. 1902 г.) идею использования соображений симметрии для классификации элементарных частиц современной физики и изучения их свойств.

Другим достоинством аксиоматики Бахмана является то, что она «алгебраична», т.к. приводит к некоторому «исчислению», дающему алгоритм «вычислительного» доказательства геометрических теорем.

Достоинства аксиоматики Бахмана привели к попыткам использования ее в преподавании геометрии. Одним из первых учебных изложений геометрии, используемых идеи Бахмана является книга “Une construction de la geometrie elementaire fondee sur la notion de reflexion” (Женева, 1963) известного швейцарского геометра секретаря Международной комиссии по математическому образованию А. Дельсерта. Другими сторонниками использования построений Бахмана в учебных целях являются немецкий математик и педагог Х. Ленц и швейцарский геометр М. Егер.

Наряду с аксиоматическими системами Гильберта и Бахмана существует также и совершенно иной путь строго дедуктивного построения евклидовой геометрии, имеющий серьезное математическое и педагогической значение. Мы имеем в виду векторное построение геометрии, впервые проведенное в книге «Пространство, время, материя» (1918 г.) Г. Вейля (1885 - 1955). Этот путь построения связывает евклидово пространство с иной алгебраической структурой – векторным пространством.

Огромная роль векторных пространств в самой математики и ее приложениях делает этот путь построения чрезвычайно важным. Легкость «арифметизации» векторного пространства с помощью введения системы координат и возможности использовать аппарат векторного исчисления делают это построение геометрии одним из самых простых. В связи с этим аксиоматика Вейля нашла широкое применение в преподавании геометрии. Здесь можно назвать следующих активных сторонников, построения элементарной геометрии на векторной основе, французский математик, один из вдохновителей и активных членов группы Н. Бурбаки Ж. Дьедонне (род. 1906 г.), Ж. Паппи, представитель бельгийской школы методики математики В. Серве..

Существенное отличие аксиоматики Вейля от аксио­матики Гильберта заключается в том, что в схеме Вейля мы отказы­ваемся от некоторых привычных представлений об основных объектах геометрии. По Вейлю, основными объектами, как мы знаем, являются векторы и точки. Все другие геометрические образы определяются через них при помощи теоретико-множественных понятий с существенным использованием теории действительных чисел. В этой схеме вектор фигурирует не как параллельный перенос или как пара точек, как мы его определяем в геометрии, а как основной самостоятельный мате­матический объект. По существу, это допущение не является столь уже неестественным. В самом деле, путь, сила, скорость, ускорение - понятия, с которыми мы встречаемся на практике очень часто. Век­тор есть не что иное, как абстрактно-математическое выражение этих понятий.

Помимо общих, принципиальных соображений, схема обоснова­ния евклидовой геометрии по Вейлю, позволяет естественным образом связать многие разделы гео­метрии друг с другом.

Обзор аксиоматик школьных курсов геометрии. Несмотря на существование различных логических путей обоснования геометрии, до середины XX века преподавание геометрии в средней школе базировалось на традицион­ной системе Евклида. Укажем хотя бы на созданный еще в XIX столетии учебник А. П. Киселева (Геометрия. М., Учпедгиз, 1962), по которому учились поколения школьников в нашей стране.

Аксиома­тической основой школьного учебника А. П. Кисе­лева является аксиоматика Д. Гильберта. Этим, в частности, объясняется тот факт, что для подготовки преподавателей математики для средней школы в педвузах до последнего времени счи­талось необходимым подробное изучение системы аксиом Гильберта как схемы, являющейся, по существу, логическим обоснованием сис­темы Евклида.

Конечно, изложение в этом учебнике ведется не строго аксиоматически, а сам список аксиом Гильберта приводится в нем как дополнительный материал. В аксиоматике Гильберта нет группы аксиом рассто­яния. Поэтому в учебнике Киселева достаточно подробно изла­гается вопрос об измерении длины отрезка. Поскольку решение этого вопроса, по существу, равносильно введению действи­тельных чисел, то соответствующие разделы учебника Киселе­ва были весьма сложны для школьного курса. Это побудило большинство авторов следующих школьных учебников вводить в число основных исходных понятий геометрии понятие рассто­яния между точками или длины отрезка. При этом считалось, что с понятием действительного числа школьники уже знакомы из курса алгебры.

Бурное вторжение математики в самые различные области знаний привели к необходимости усиления математической подготовки школьников, в частности, к более стройному изложению курса гео­метрии в средней школе. Возник ряд предложений о перестройке школьного курса геометрии. Очевидно, наиболее естественным и близ­ким к традиционному, было бы последовательное изложение курса гео­метрии на базе аксиом Гильберта. Однако этот путь подвергается серьезной критике. Дело в том, что схема Гильберта очень сложна и для того, чтобы довести ее до логического завершения, требуется большое количество аксиом, определений и сложных рассуждений. Более важное обстоятельство, которое заставляет пересмотреть классический способ изложения геометрии и, по существу, отказаться от аксиоматики Гильберта, заключается в том, что эта аксиоматика практически не имеет выходов в другие области математики, в част­ности в современную геометрию. Возьмем хотя бы понятие многомер­ного пространства, которое является весьма актуальным. Для обос­нования этого понятия аксиоматика Гильберта оказывается почти не­пригодной. Кроме того, эта аксиоматика не дает базы для построения геометрий, отличных от евклидовой - римановой, конформной и т.д. Наконец, отметим, что для аксиоматики Гильберта характерным является фактическое отсутствие теоретико-множественных понятий, в частности понятия бесконечного множества. Не случайно, что при этом способе изложения геометрии прямые и плоскости, как мы уви­дим ниже, вводятся не как объекты, составленные из бесконечного множества точек, а как основные объекты. Это обстоятельство приво­дит к тому, что в геометрию весьма слабо проникают аналитические методы изложения. В частности, векторная алгебра, имеющая перво­степенное значение в математике и физике, при аксиоматическом построении геометрии по Гильберту оказывается искусственно по­строенной теорией, органически не связанной с самой геометрией.

Аксиоматика планиметрии А.Н. Колмогорова. В конце 70-х гг. ХХ века в среднюю школу введено новое учебное посо­бие по геометрии (Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия 6 – 8. М.: Просвещение, 1979), изданное под редакцией акад. А.Н. Колмого­рова. В этом пособии получили широкое отражение теоретико-мно­жественная концепция и другие современные идеи, ведущие к алгебраизации школьного курса геометрии. Само собой разумеется, что принципы построения этого курса существенно отличаются от традиционных.

Аксиоматика этого курса состояла из пяти групп:

I. Аксиомы принадлежности. II. Аксиомы расстояния. III. Ак­сиомы порядка. IV. Аксиома подвижности. V. Аксиома парал­лельности.

Основными объектами были точки, прямые, неотрицатель­ные (скалярные) величины. Основными отношениями: 1) отно­шение принадлежности точки прямой; 2) сопоставление каждой паре неотрицательной скалярной величины (в последних изданиях учебника она была заменена числом) - расстояния меж­ду этими точками.

Аксиоматика планиметрии А.В. Погорелова. Одно­временно с А.Н. Колмогоровым начал работу над школьным учебником геометрии А.В. Погорелов. Первое изложение эле­ментарной геометрии, ориентированное на школьное препода­вание, было опубликовано им в 1969 - 1970 гг., а с начала 80-х годов его школьный учебник геометрии сменил в большинстве школ страны учебник А.Н. Колмогорова. Выделяя из всех сторон геометрии ее логическую строгость и стремясь с самого начала в школьном курсе все доказать, А.В. Погорелов еще более расширяет аксиоматику и вводит в нее не только аксиомы измерения отрезков, но и аксиомы измерения углов. При этом А. В. Погорелов в аксиомах измерения сопоставляет отрезкам и углам числа, не делая оговорок о зависимости этих чисел от выбора единиц измерения.

В аксиоматике (планиметрия) А.В. Погорелова основными объектами являются точка и прямая. Аксиомы, выражающие основные отношения - принадлежность точек и прямых, лежать между, длина отрезка и мера угла, откладывание отрезка и угла, параллельность прямых, - разделены на пять групп: I. Аксиомы принадлежности, II. Аксиомы порядка, III. Аксиомы меры для отрезков и углов, IV. Аксиомы откладывания отрезков и углов, V. Аксиома параллельности Евклида.

Аксиоматика в учебнике Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и Э. Г. Позняка. Группу аксиом конгруэнтности в аксиоматике Гильберта можно заменить группой аксиом движения, считая движение основным, не определяемым явно понятием. Именно по такому пути пошел коллектив авторов, перечисленных в заголовке этого пункта, при работе над школьными учебниками геометрии. В этих учебниках авторы вместо термина «движение» пользуются термином «наложение» (вспомним, что еще Евклид использовал наложение в своих «Началах» при доказательстве признаков равенства треугольни­ков). Они считают «наложение» основным понятием вместе с двумя другими основными понятиями - точки и прямой. Пер­вые две группы аксиом у них такие же, что и у Гильберта. А третья группа аксиом — аксиомы наложения.

Остальные две группы аксиом могли бы быть такие же, как в аксиоматике Гильберта, но из-за тех трудностей в школьном курсе, которые вызывает измерение длины отрезка, авторы учебника вводят две аксиомы измерения отрезков.

Аксиоматика А.Д. Александрова. Стремясь как можно реже рассматривать неограниченные объекты (например, прямые), А.Д. Александров за основные объекты принимает следующие: точки, отрезки, фигуры. При этом точки и отрезки считаются частными видами фигур. За основные отношения между этими объектами прини­маются: 1) точка принадлежит фигуре, в частности отрезку; 2) точка является концом отрезка; 3) два отрезка равны.

Первая группа аксиом касается лишь фигур и содержит три аксиомы. Следующая группа — это аксиомы связи отрезков и точек. Третья группа аксиом — это аксиомы равенства отрезков. В четвертую группу аксиом А.Д. Александров включил одну аксиому — аксиому непрерывности Кантора. Уже перечисленные аксиомы полностью определяют геомет­рию на прямой, позволяя ввести длины отрезков. Далее следу­ют аксиомы плоскости. Завершить аксиоматику планимет­рии можно было бы аксиомой парал­лельности Евклида. Но А. Д. Алек­сандров заменяет ее одним из экви­валентов — аксиомой параллельных отрезков (или аксиомой прямоуголь­ника).

Аксиома A V.3. Если отрезки АС и BD равны и идут в одну сторону от отрезка АВ под прямым углом, то CD = AB.

На этом перечень аксиом планиметрии завершается.

По идее А. Д. Александрова построение стереометрии в школьных учебниках не зависит от того, как до этого построена планиметрия. Для этого плоскость не входит в число основных объектов, а определяется как фигура в пространстве, на которой выполняется планиметрия. После этого формулиру­ются аксиомы стереометрии.